Question

已知雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為

3

的直線(xiàn)交C于A、B兩點(diǎn)，若

AF

=4

FB

，則C的離心率為（　�。�

• A、

  6

  5

• B、

  7

  5

• C、

  5

  8

• D、

  9

  5

Answer 1

分析：設(shè)雙曲線(xiàn)的有準(zhǔn)線(xiàn)為l，過(guò)A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直線(xiàn)AB的斜率可知直線(xiàn)AB的傾斜角，進(jìn)而推|AD|=

1

2

|AB|，由雙曲線(xiàn)的第二定義|AM|-|BN|=|AD|，進(jìn)而根據(jù)

.

AF

=4

.

FB

，求得離心率．

解答：解：設(shè)雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右準(zhǔn)線(xiàn)為l，
過(guò)A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，
由直線(xiàn)AB的斜率為

3

，
知直線(xiàn)AB的傾斜角為60°
∴∠BAD=60°
|AD|=

1

2

|AB|，
由雙曲線(xiàn)的第二定義有：
|AM|-|BN|=|AD|=

1

e

(|

AF

|-|

FB

|)
=

1

2

|AB|=

1

2

(|

AF

|+|

FB

|)
∴

1

e

•3|

FB

|=

5

2

|

FB

|，∴e=

6

5

故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的定義．解題的關(guān)鍵是利用了雙曲線(xiàn)的第二定義，找到了已知條件與離心率之間的聯(lián)系．