精英家教網(wǎng)已知圓P過點(diǎn)F(0,
1
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)
,且與直線y=-
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4
相切.
(Ⅰ)求圓心P的軌跡M的方程;
(Ⅱ)若直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在軌跡M上,且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,過點(diǎn)A、C分別作軌跡M的切線,兩切線相交于點(diǎn)D,直線AC與y軸交于點(diǎn)E,當(dāng)直線BC的斜率在[3,4]上變化時(shí),直線DE斜率是否存在最大值,若存在,求其最大值和直線BC的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由?
分析:(Ⅰ)依題意可知圓心P到點(diǎn)F的距離與到定直線y=-
1
4
的距離相等,利用拋物線的定義可知P的軌跡為拋物線,設(shè)出拋物線的方程,根據(jù)題意求得p,則P的軌跡方程可得.
(Ⅱ)設(shè)出A,C的坐標(biāo),表示出直線AC的斜率,則其直線方程可表示出,與拋物線方程聯(lián)立消去y,利用判別式求得k的范圍,利用k表示出A,C的坐標(biāo),進(jìn)而用表示出直線AC的斜率,從而可表示出直線AC的直線方程,令x=0求得y,得到E的坐標(biāo),進(jìn)而求得AD的方程,同理可求得CD的直線方程表達(dá)式,聯(lián)立后求得D點(diǎn)坐標(biāo),則可表示出直線ED的斜率,求得其最大時(shí),k的值,則直線BC的方程可得.
解答:解:(Ⅰ)依題意圓心P到點(diǎn)F的距離與到定直線y=-
1
4
的距離相等,
根據(jù)拋物線的定義可知P的軌跡為拋物線,
設(shè)方程為x2=2py,p=
1
2
,所以x2=y
(Ⅱ)B(1,1),設(shè)A(x1,x12),C(x2,x22),kAC=
x12-x22
x1-x2
=x1+x2

設(shè)BC的斜率為k,則
y-1=k(x-1)
x2=y
?x2-kx+k-1=0
,△=k2-4k+4≥0,
又1+xc=k,?xc=k-1,C(k-1,(k-1)2),A(-
1
k
-1,(
1
k
+1)2)
,kAC=x1+x2=k-
1
k
-2

直線AC的方程為y-(k-1)2=(k-
1
k
-2)[x-(k-1)]
,
x=0,y=k-
1
k
,所以E(0,k-
1
k
)

AD:y-x12=2x1(x-x1)?y=2x1x-x12
同理CD:y=2x2x-x22,聯(lián)立兩方程得D(
1
2
(k-
1
k
-2),
1
k
-k)
kED=
k-
1
k
+k-
1
k
1
2
(2+
1
k
-k)
=
2(k-
1
k
)
1
2
(2+
1
k
-k)
=-4
k2-1
-k2+2k+1
=-4(1+
2
2+
1
k
-k
)

u=
1
k
-k
,則u在[3,4]上遞減,所以,當(dāng)k=3時(shí),kED最大為8
所以,BC的方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0
點(diǎn)評(píng):本題考查的考點(diǎn)包括:拋物線定義、導(dǎo)數(shù)、直線方程的多次聯(lián)立求交點(diǎn)、直線的斜率表達(dá)、函數(shù)的值域;本題中學(xué)生容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤在于:1、對(duì)于直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)的判定錯(cuò)誤;2、求拋物線切線方程的方法方向性錯(cuò)誤;3、聯(lián)立多個(gè)方程造成的計(jì)算錯(cuò)誤.
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(Ⅱ)過點(diǎn)F作一條直線交軌跡C于A,B兩點(diǎn),軌跡C在A,B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)N,M為線段AB的中點(diǎn),求證:MN⊥x軸.

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