Question

(本題滿分15分)

已知函數(shù)，設, .

（Ⅰ）試確定的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

（Ⅱ）試判斷的大小并說明理由；

（Ⅲ）求證：對于任意的,總存在，滿足，并確定這樣的的個數(shù).

Answer 1

(本題滿分15分)

已知函數(shù)，設, .

（Ⅰ）試確定的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

（Ⅱ）試判斷的大小并說明理由；

（Ⅲ）求證：對于任意的,總存在，滿足，并確定這樣的的個數(shù).

解：（Ⅰ）因為

由；由,

所以在 上遞增,在上遞減

要使在上為單調(diào)函數(shù),則       -------------4分

（Ⅱ）因為在上遞增,在上遞減，

∴在處有極小值， 又，

∴ 在上的最小值為

     從而當時,，即         -------------8分

（Ⅲ）證：∵，又∵，

∴,   令,從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0在上有解,并討論解的個數(shù)-------------9分

   ∵,

,      ---------------- 10分

當時,,

所以在上有解,且只有一解      ---------------- 11分

②當時,,但由于,

所以在上有解,且有兩解        ------------------- 12分

③當時,,故在上有且只有一解；

當時,,

所以在上也有且只有一解               ------------------- 13分

綜上所述, 對于任意的,總存在,滿足,

且當時,有唯一的適合題意；

當時,有兩個適合題意.                           --------------14分

（說明：第（3）題也可以令,,然后分情況證明在其值域內(nèi),并討論直線與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)即可得到相應的的個數(shù)）