Question

【題目】已知函數(shù) 是奇函數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并給出證明；

（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是，求實(shí)數(shù)與的值

Answer 1

【答案】1解：（1）由已知條件得

對(duì)定義域中的均成立.………………………………1分

即

對(duì)定義域中的均成立.

即（舍去）或. …………………………………4分

（2）由（1）得

設(shè)，

當(dāng)時(shí)，

. ………………………………6分

當(dāng)時(shí)，，即.

當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù). ………………………………8分

同理當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù). ………………………10分

（3）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

①， .

在為增函數(shù)，

要使值域?yàn)?/span>，

則（無解）

②， .

在為減函數(shù),

要使的值域?yàn)?/span>, 則

，. ……………………………14分

【解析】

試題

(1)由奇函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于實(shí)數(shù)m的方程，解方程可得m=-1；

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論首先確定函數(shù)的解析式，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)a>1時(shí),f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減； 當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增；

(3)結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)和(2)中確定的函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于實(shí)數(shù)a,n的方程組，分類討論求解方程組可得.

試題解析：

（1）由為奇函數(shù)，則對(duì)定義域任意恒有即 （舍去1）

(2)由（1）得，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，現(xiàn)證明如下：

設(shè)，

(3)由題意知定義域上的奇函數(shù)。

①當(dāng)即時(shí)，由(2)知在(n,a-2)上f(x)為增函數(shù)，

由值域?yàn)?/span>(1,+∞)得無解；

②當(dāng)(n,a-2)(1,+∞)即1≤n<a-2有a/span>>3，

由（2）知在(n,a-2)上f(x)為減函數(shù)，

由值域?yàn)?/span>得