Question

【題目】已知圓O：x2+y2=2，直線l：y=kx﹣2．
（1）若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng) 時(shí)，求k的值；
（2）若 是直線l上的動點(diǎn)，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點(diǎn)為C、D，探究：直線CD是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)則求出該定點(diǎn)，若不存在則說明理由；
（3）若EF、GH為圓O：x2+y2=2的兩條相互垂直的弦，垂足為 ，求四邊形EGFH的面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴點(diǎn)O到l的距離 ，∴
（2）解：由題意可知：O，P，C，D四點(diǎn)共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè) ．

其方程為： ，

即 ，

又C、D在圓O：x2+y2=2上，

∴ ，即 ，

由 ，得

∴直線CD過定點(diǎn) ．

（3）解：設(shè)圓心O到直線EF、GH的距離分別為d1，d2．

則 ，

∴ ，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，取“=”

∴四邊形EGFH的面積的最大值為

【解析】（1）若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)O到l的距離 ，由此求k的值；（2）求出直線CD的方程，即可，探究：直線CD是否過定點(diǎn)；（3）求出四邊形EGFH的面積，利用配方法，求出最大值．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與圓的三種位置關(guān)系，掌握直線與圓有三種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)即可以解答此題．