設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：（1）方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)解；（2）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．給出如下函數(shù)：
①f(x)=
x
2
+
sinx
4
；
②f（x）=x+tanx，x∈(-
π
2
，
π
2
)；
③f（x）=log3x+1，x∈[1，+∞）．
其中是集合M中的元素的有
①③
①③
．（只需填寫(xiě)函數(shù)的序號(hào)）
分析：逐個(gè)判定函數(shù)是否滿足：“①方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1”即可．
解答：解：①因?yàn)閒′（x）=
1
2
+
1
4
cosx，
所以f′（x）∈[
1
4
，
3
4
]滿足條件0＜f'（x）＜1，
又因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根0．
所以函數(shù)是集合M中的元素．
②當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根0，滿足條件（1），
但f′（x）=1+
1
cos2x
＞1，不滿足條件（2），
故②不是M中的元素；
③當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=1，所以方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根1，滿足條件（1），
f′（x）=
1
xln3
，當(dāng)x≥1時(shí)，0＜
1
xln3
≤
1
ln3
＜1，滿足條件（2），
所以③是M中的元素；
故答案為：①③
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、集合元素間的關(guān)系，考查學(xué)生分析解決新問(wèn)題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：“①方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性質(zhì)：若f（x）的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，試用這一性質(zhì)證明：方程f（x）-x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
（Ⅲ）設(shè)x1是方程f（x）-x=0的實(shí)數(shù)根，求證：對(duì)于f（x）定義域中任意的x2、x3，當(dāng)|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1時(shí)，|f（x3）-f（x2）|＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：“①方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足
0＜f′（x）＜1”
（I）證明：函數(shù)f（x）=
3x
4
+
x3
3
（0≤x＜
1
2
）是集合M中的元素；
（II）證明：函數(shù)f（x）=
3x
4
+
x3
3
（0≤x＜
1
2
）具有下面的性質(zhì)：對(duì)于任意[m，n]⊆[0，
1
2
），都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．
（III）若集合M中的元素f（x）具有下面的性質(zhì)：若f（x）的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意[m，n]⊆D，都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．試用這一性質(zhì)證明：對(duì)集合M中的任一元素f（x），方程f（x）-x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：“①方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．”
（Ⅰ）判斷函數(shù)f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x，判斷g（x）的單調(diào)性（f（x）∈M）；
（Ⅲ）設(shè)x1＜x2，證明：0＜f（x2）-f（x1）＜x2-x1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江西模擬）設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：①方程f（x）-x=0有實(shí)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．
（1）若函數(shù)f（x）為集合M中的任意一個(gè)元素，證明：方程f（x）-x=0只有一個(gè)實(shí)根；
（2）判斷函數(shù)g（x）=
x
2
-
lnx
2
+3(x＞1)是否是集合M中的元素，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）為集合M中的任意一個(gè)元素，對(duì)于定義域中任意α，β，證明|f（α）-f（β）|≤|α-β|

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