【題目】已知恒等式(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n
(1)求a1+a2+a3+…+a2n和a2+2a3+22a4+…+22n2a2n的值;
(2)當(dāng)n≥6時,求證: a2+2A a3+…+22n2 a2n<49n2

【答案】
(1)解:令x=0,則a0=1.

令x=1,則a0+a1+a2+…+a2n=3n,∴a1+a2+…+a2n=3n﹣1.

∵(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n

∴兩邊對x求導(dǎo)可得:n(1+x+x2n1=a1+2a2x+…+2na2nx2n1

令x=0,則n=a1,

由(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n

令x=2,則 ×7n= + +a2+2a3+…+22n2a2n

∴a2+2a3+…+22n2a2n=


(2)證明:∵(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n

∴兩邊對x求導(dǎo)可得:n(1+x+x2n1(1+2x)=a1+2a2x+…+2na2nx2n1,

再一次求導(dǎo)可得:n[(n﹣1)(1+2x)2+2](1+x+x2n2=2a2+3×2a3x+…+2n(2n﹣1)a2nx2n2

=k(k﹣1),

令x=2可得: a2+2A a3+…+22n2 a2n=n[25(n﹣1)+2]×7n2

n≥6時,n[25(n﹣1)+2]<7n2,

a2+2A a3+…+22n2 a2n=n[25(n﹣1)+2]×7n2<49n2


【解析】(1)令x=0,則a0=1.令x=1,a0+a1+a2+…+a2n=3n , 可得a1+a2+…+a2n . 由(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n . 兩邊對x求導(dǎo)可得:n(1+x+x2n1=a1+2a2x+…+2na2nx2n1 . 令x=0,可得n=a1 , 由(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n . 令x=2,可得 ×7n= + +a2+2a3+…+22n2a2n . 即可得出.(2)(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n . 由(1)可得:n(1+x+x2n1(1+2x)=a1+2a2x+…+2na2nx2n1 , 兩邊對x求導(dǎo)可得:n[(n﹣1)(1+2x)2+2](1+x+x2n2=2a2+3×2a3x+…+2n(2n﹣1)a2nx2n2 , 令x=2可得: a2+2A a3+…+22n2 a2n=n[25(n﹣1)+2]×7n2 , n≥6時,n[25(n﹣1)+2]<7n2 , 即可證明.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】設(shè)命題p:函數(shù)f(x)=lg(ax2﹣x+ )的值域為R;命題q:3x﹣9x<a對一切實數(shù)x恒成立,如果命題“p且q”為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.

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【題目】在極坐標(biāo)系中,設(shè)直線過點A( ),B(3, ),且直線與曲線C:ρ=2rsinθ(r>0)有且只有一個公共點,求實數(shù)r的值.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C: =1(a>1)的左、右頂點分別為A、B,P是橢圓C上任一點,且點P位于第一象限.直線PA交y軸于點Q,直線PB交y軸于點R.當(dāng)點Q坐標(biāo)為(0,1)時,點R坐標(biāo)為(0,2)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求證: 為定值;
(3)求證:過點R且與直線QB垂直的直線經(jīng)過定點,并求出該定點的坐標(biāo).

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【題目】某小學(xué)對一年級的甲、乙兩個班進行“數(shù)學(xué)學(xué)前教育”對“小學(xué)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀”影響的試驗,其中甲班為試驗班(實施了數(shù)學(xué)學(xué)前教育),乙班為對比班(和甲班一樣進行常規(guī)教學(xué),但沒有實施數(shù)學(xué)學(xué)前教育),在期末測試后得到如下數(shù)據(jù):

優(yōu)秀人數(shù)

非優(yōu)秀人數(shù)

總計

甲班

30

20

50

乙班

25

25

50

總計

55

45

100

能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為進行“數(shù)學(xué)學(xué)前教育”對“小學(xué)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀”有積極作用?

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(2)過點(2,0)的直線l與動圓圓心C的軌跡交于A,B兩點,求證:是一個定值.

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(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)G是橢圓C上異于A,B的任意一點,過點GGH⊥x軸于點H,延長HG到點Q使得|HG|=|GQ|,連接AQ并延長交直線l于點M,N為線段MB的中點,判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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(1)若直線l的斜率為 ,求 的值;
(2)若 ,求實數(shù)λ的取值范圍.

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【題目】某公園準(zhǔn)備在一圓形水池里設(shè)置兩個觀景噴泉,觀景噴泉的示意圖如圖所示,A,B兩點為噴泉,圓心O為AB的中點,其中OA=OB=a米,半徑OC=10米,市民可位于水池邊緣任意一點C處觀賞.

(1)若當(dāng)∠OBC= 時,sin∠BCO= ,求此時a的值;
(2)設(shè)y=CA2+CB2 , 且CA2+CB2≤232.
(i)試將y表示為a的函數(shù),并求出a的取值范圍;
(ii)若同時要求市民在水池邊緣任意一點C處觀賞噴泉時,觀賞角度∠ACB的最大值不小于 ,試求A,B兩處噴泉間距離的最小值.

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