Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n,S_n,S_n－成等比數(shù)列.

(1)求a₂,a₃,a₄，并推出a_n的表達(dá)式；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論；

(3)求數(shù)列{a_n}所有項(xiàng)的和.

Answer 1

（1）a₂=－ a₃=－ a₄=－

（3）S=S_n=0

解析:

∵a_n,S_n,S_n－成等比數(shù)列，∴S_n²=a_n·(S_n－)(n≥2)                      

(1)由a₁=1,S₂=a₁+a₂=1+a₂,代入(^*)式得:a₂=－

由a₁=1，a₂=－,S₃=+a₃代入(^*)式得：a₃=－

同理可得：a₄=－,由此可推出：a_n=

(2)①當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，由(^*)知猜想成立.

②假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，a_k=－成立

故S_k²=－·(S_k－)

∴(2k－3)(2k－1)S_k²+2S_k－1=0

∴S_k= (舍)

由S_k+1²=a_k+1·(S_k+1－),得(S_k+a_k+1)²=a_k+1(a_k+1+S_k－)

由①②知，a_n=對(duì)一切n∈N成立.

(3)由(2)得數(shù)列前n項(xiàng)和S_n=,∴S=S_n=0