Question

已知函數(shù)，．
（1）若函數(shù)在處取得極值，求的值；
（2）若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，求的范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和函數(shù)思想.第一問，由于在處取得極值，所以是的根，所以對求導(dǎo)，解，得出a的值，但是需要驗(yàn)證是否符合題意；第二問，先將“的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱”轉(zhuǎn)化為“存在圖象上一點(diǎn)，使得在的圖象上”，即轉(zhuǎn)化為“同時成立”，聯(lián)立消參，即轉(zhuǎn)化為“，即關(guān)于的方程在內(nèi)有解”，下面證明與有交點(diǎn).
試題解析：（1）當(dāng)時，，   2分
∵在處取得極值
∴，即
解得：，經(jīng)驗(yàn)證滿足題意，∴．            5分
的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，
即存在圖象上一點(diǎn)，
使得在的圖象上
則有 
                         8分
化簡得：，即關(guān)于的方程在內(nèi)有解                   9分
設(shè)，則
∵
∴當(dāng)時，；當(dāng)時，
即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)
∴，且時，；時，
即值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044835885557.png" style="vertical-align:middle;" />                                             11分
∴時，方程在內(nèi)有解
∴時，的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱．   12分