Question

設(shè)向量=（0，2），=（1，0），過(guò)定點(diǎn)A（0，-2），以+λ方向向量的直線與經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，2），以向量-2λ為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中λ∈R，
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)E（1，0）的直線l與C交于兩個(gè)不同點(diǎn)M、N，求•的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），∵=（0，2），=（1，0），∴+λ=（λ，2），-2λ=（1，-4λ），
過(guò)定點(diǎn)A（0，-2），以+λ方向向量的直線方程為：2x-λy-2λ=0，
過(guò)定點(diǎn)B（0，2），以-2λ方向向量的直線方程為：4λx+y-2=0，
聯(lián)立消去λ得：8x²+y²=4∴求點(diǎn)P的軌跡C的方程為8x²+y²=4．
（Ⅱ）當(dāng)過(guò)E（1，0）的直線l與x軸垂直時(shí)，l與曲線C無(wú)交點(diǎn)，不合題意，
∴設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），l與曲線C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由?（k²+8）x²-2k²x+k²-4=0，則，
又=（x₁-1，y₁），=（x₂-1，y₂），
∴•=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-（1+k²）（x₁+x₂）+1+k² =（1+k²）（-+1）==4-，
∵0≤k²＜8，∴•的取值范圍是[，）．
分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），求得過(guò)定點(diǎn)A（0，-2），以+λ方向向量的直線方程，以及過(guò)定點(diǎn)B（0，2），以-2λ方向向量的直線方程，消去λ即得點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）用點(diǎn)斜式設(shè)直線l的方程，代入曲線C的方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，判別式大于零，代入• 的式子化簡(jiǎn)，求得 •的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求點(diǎn)的軌跡方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，化簡(jiǎn)•是解題的難點(diǎn)．