【題目】如圖,平面,分別是的中點,,.
(1)求二面角的余弦值;
(2)點是線段上的動點,當直線與所成的角最小時,求線段的長.
【答案】(1);(2).
【解析】
試題分析:先利用所給的垂直關(guān)系建立適當?shù)目臻g直角坐標系,寫出相關(guān)點的坐標(1)判定是平面的一個法向量,求出平面的一個法向量,利用平面的法向量求二面角的余弦值;(2)先利用三點共線設(shè)出點的坐標,利用空間向量的夾角公式得到函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)求其最值.
試題解析:以為正交基底建立空間直角坐標系,
則各點的坐標為,,,.
(Ⅰ)因為平面,所以是平面的一個法向量,.因為,.
設(shè)平面的法向量為,則,,
即令,解得
所以是平面的一個法向量. 從而
所以二面角的余弦值為
(Ⅱ)因為,設(shè),
又,則,又,
從而
設(shè), 則
當且僅當,即時,的最大值為.
因為在上是減函數(shù),此時直線與所成角取得最小值.
又因為,所以
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【題目】如圖所示,四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形,∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=3,PC=CD=2,PC⊥底面ABCD,E為AB的中點.
(I)求證:平面PDE⊥平面PAC;
(Ⅱ)求直線PC與平面PDE所成的角的正弦值.
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【題目】已知定義域為R的奇函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)為y=f′(x),當x≠0時, >0,若a=f(1),b=﹣2f(﹣2),c=(ln )f(ln ),則a,b,c的大小關(guān)系正確的是( )
A.a<c<b
B.b<c<a
C.a<b<c
D.c<a<b
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【題目】已知在平面直角坐標系中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為 ,且過點D(2,0).
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)設(shè)點 ,若P是橢圓上的動點,求線段PA的中點M的軌跡方程.
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【題目】下列說法正確的是( ).
A. ,“”是“”的必要不充分條件
B. “且為真命題”是“或為真命題” 的必要不充分條件
C. 命題“,使得”的否定是:“”
D. 命題:“”,則是真命題
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【題目】⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為ρ=4coθ,ρ=﹣sinθ.
(1)把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)求經(jīng)過⊙O1 , ⊙O2交點的直線的極坐標方程.
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【題目】共享單車是指企業(yè)在校園、地鐵站點、公交站點、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等提供自行車單車共享服務(wù),是共享經(jīng)濟的一種新形態(tài).一個共享單車企業(yè)在某個城市就“一天中一輛單車的平均成本(單位:元)與租用單車的數(shù)量(單位:千輛)之間的關(guān)系”進行調(diào)查研究,在調(diào)查過程中進行了統(tǒng)計,得出相關(guān)數(shù)據(jù)見下表:
租用單車數(shù)量(千輛) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
每天一輛車平均成本(元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù),研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型,得到兩個回歸方程,方程甲: ,方程乙: .
(1)為了評價兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù):
①完成下表(計算結(jié)果精確到0.1)(備注: ,稱為相應(yīng)于點的殘差(也叫隨機誤差));
租用單車數(shù)量 (千輛) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
每天一輛車平均成本 (元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 | |
模型甲 | 估計值 | 2.4 | 2.1 | 1.6 | ||
殘差 | 0 | -0.1 | 0.1 | |||
模型乙 | 估計值 | 2.3 | 2 | 1.9 | ||
殘差 | 0.1 | 0 | 0 |
②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和及,并通過比較的大小,判斷哪個模型擬合效果更好.
(2)這個公司在該城市投放共享單車后,受到廣大市民的熱烈歡迎,共享單車常常供不應(yīng)求,于是該公司研究是否增加投放.根據(jù)市場調(diào)查,這個城市投放8千輛時,該公司平均一輛單車一天能收入10元,6元收入的概率分別為0.6,0.4;投放1萬輛時,該公司平均一輛單車一天能收入10元,6元收入的概率分別為0.4,0.6.問該公司應(yīng)該投放8千輛還是1萬輛能獲得更多利潤?(按(1)中擬合效果較好的模型計算一天中一輛單車的平均成本,利潤=收入-成本).
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