【題目】已知函數(shù).

1)討論的單調(diào)性;

2)若,記的極小值為,證明:.

【答案】1)當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間;當(dāng)時,遞增區(qū)間,遞減區(qū)間; 2)證明見解析.

【解析】

1)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分類討論,即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)由(1)可知,取得,把,轉(zhuǎn)化為,

設(shè),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.

1)由題意,函數(shù),

①當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增;

②當(dāng)時,令,即,解得

,即,解得,

所以函數(shù)單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;

③當(dāng)時,令,即,解得

,即,解得,

所以函數(shù)單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

綜上可得:

當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間;當(dāng)時,函數(shù)遞增區(qū)間,遞減區(qū)間.

2)由(1)可知,當(dāng)時,單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,函數(shù)取得極小值,

極小值為,

要證:,只需證:,只需證:

,

設(shè),則

,即,解得,

,即,解得,

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)時,取得最大值,最大值為,

即當(dāng)時,,即

所以.

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