已知函數(shù).
(Ⅰ)若在上的最大值為,求實數(shù)的值;
(Ⅱ)若對任意,都有恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下,設(shè),對任意給定的正實數(shù),曲線 上是否存在兩點,使得是以(為坐標原點)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上?請說明理由.
(Ⅰ).(Ⅱ).
(Ⅲ)對任意給定的正實數(shù),曲線 上總存在兩點,,使得是以(為坐標原點)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)由,得,
令,得或.
當變化時,及的變化如下表:
|
- |
+ |
- |
|||
↘ |
極小值 |
↗ |
極大值 |
↘ |
由,,,
即最大值為,. 4分
(Ⅱ)由,得.
,且等號不能同時取,,即
恒成立,即. 6分
令,求導(dǎo)得,,
當時,,從而,
在上為增函數(shù),,. 8分
(Ⅲ)由條件,,
假設(shè)曲線上存在兩點,滿足題意,則, 只能在軸兩側(cè),
不妨設(shè),則,且.
是以為直角頂點的直角三角形,,
,
是否存在,等價于方程在且時是否有解. 10分
①若時,方程為,化簡得,此方程無解;
②若時,方程為,即,
設(shè),則,
顯然,當時,,
即在上為增函數(shù),
的值域為,即,當時,方程總有解.
對任意給定的正實數(shù),曲線 上總存在兩點,,使得是以(為坐標原點)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在軸上. 14分
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值。
點評:難題,在給定區(qū)間,導(dǎo)數(shù)非負,函數(shù)為增函數(shù),導(dǎo)數(shù)非正,函數(shù)為減函數(shù)。涉及“不等式恒成立”問題,往往通過構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題,利用導(dǎo)數(shù)加以解決。本題(III)需要分類討論,易于出錯,是叫男的一道題目。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年山東省青島市高三統(tǒng)一質(zhì)量檢測考試理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知函數(shù) ,,若對任意的,都有成立,則實數(shù)的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年山東省德州市高三上學(xué)期1月月考考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)若點在角的終邊上,求的值;(Ⅱ)若,求的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆陜西省高二下學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)
(Ⅰ)若曲線在點處的切線與直線平行,求出這條切線的方程;
(Ⅱ)若,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)對任意的,恒有,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆浙江省第二學(xué)期高二月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線在處的切線方程為,求實數(shù)和的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅲ)若,且對任意,都有,求的取值范圍.
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