Question

求滿足下列各條件的橢圓的標準方程：
（1）經(jīng)過點A(2

5

，0)，B(0，-3)；
（2）經(jīng)過點M（2，0），且與橢圓9x²+5y²=45具有共同的焦點．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，橢圓經(jīng)過的A、B恰好是橢圓的右頂點與下頂點，結合橢圓的標準方程與基本概念，算出a、b之值，即可得出所求橢圓的標準方程；
（2）將橢圓9x²+5y²=45化成標準方程：

x2

5

+

y2

9

=1，算出c=2得焦點坐標為（0，±2）．由此設所求橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），結合題意建立關于a、b的方程組，解出a、b的值即得所求橢圓的標準方程．

解答：解：（1）∵橢圓經(jīng)過點A(2

5

，0)，B(0，-3)，
∴橢圓的頂點在x軸上，a=2

5

且b=3，得a²=20，b²=9
可得橢圓的方程為

x2

20

+

y2

9

=1；
（2）橢圓9x²+5y²=45化成標準方程，得

x2

5

+

y2

9

=1，
∴橢圓的焦點在y軸，且c²=9-5=4，得c=2，焦點為（0，±2）．
∵所求橢圓經(jīng)過點M（2，0），且與已知橢圓有共同的焦點，
∴設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
可得

a2-b2=4 02 a2 + 42 b2 =1

，解之得a²=8，b²=4，
因此所求的橢圓方程為

y2

8

+

x2

4

=1．

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的標準方程．考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．