已知曲線C:f(x)=x2,C上點A,An的橫坐標分別為1和an(n=1,2,3…),且a1=5,數(shù)列{xn}滿足xn+1=tf(xn-1)+1(t>0),且().設(shè)區(qū)間Dn=[1,an](an>1)當x∈Dn時,曲線C上存在點Pn(xn,f(xn))使得點Pn處的切線與直線AAn平行.

(Ⅰ)證明:{logt(xn-1)+1}是等比數(shù)列;

(Ⅱ)當Dn+1Dn對一切n∈N*恒成立時,求t的取值范圍;

(Ⅲ)記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,當時,試比較Sn與n+7的大小,并證明你的結(jié)論.

答案:
解析:

  (Ⅰ)∵由線在點Pn的切線與直線AAn平行,

  ∴  (1分)

  由  (2分)

  ∴

  即

  ∴是首項為2+1為首項,公比為2的等比數(shù)列.  (4分)

  (Ⅱ)由(Ⅰ)得=(2+1)·2n-1

  ∴

  從而an2xn-1=1+  (6分)

  由Dn+1Dn,得an+1<an,即(2t)2n<(2t).  (8分)

  ∴0<2t<1,即0<t  (9分)

  (Ⅲ)當時,  (10分)

  ∴

  不難證明:當n≤3時,2n-1≤n+1;當n≥4時,2n-1>n+1.  (11分)

  ∴當n≤3時,  (12分)

  當n≥4時,

    (13分)

  綜上所述,對任意的  (14分)


練習(xí)冊系列答案
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已知曲線C:f(x)=sin(x-
π2
)+ex+2
,則在x=0處切線方程為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C:f(x)=
1
3
x3+
4
3
,
(1)求曲線在點(2,4)處的切線方程;
(2)求過點(2,4)的切線方程.

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(2013•徐州三模)已知曲線C:f(x)=x+
a
x
(a>0)
,直線l:y=x,在曲線C上有一個動點P,過點P分別作直線l和y軸的垂線,垂足分別為A,B.再過點P作曲線C的切線,分別與直線l和y軸相交于點M,N,O是坐標原點.若△ABP的面積為
1
2
,則△OMN的面積為
4
4

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1
3
x3+
4
3

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已知曲線C:f(x)=sin(x-
π
2
)+ex+2
,則在x=0處切線方程為 ______.

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