Question

已知點M（1，y）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，M點到拋物線C的焦點F的距離為2，直線l：與拋物線交于A，B兩點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程；
（Ⅲ）若直線l與y軸負半軸相交，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）拋物線y²=2px（p＞0）的準線為，由拋物線定義和已知條件可知，由此能求出拋物線方程．
（Ⅱ）聯(lián)立，消x并化簡整理得y²+8y-8b=0．依題意應有△=64+32b＞0，解得b＞-2．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8b，設圓心Q（x，y），則應有．因為以AB為直徑的圓與x軸相切，得到圓半徑為r=|y|=4，由此能夠推導出圓的方程．
（Ⅲ）因為直線l與y軸負半軸相交，所以b＜0，又l與拋物線交于兩點，由（Ⅱ）知b＞-2，所以-2＜b＜0，直線l：整理得x+2y-2b=0，點O到直線l的距離，所以．由此能夠求出AOB的面積的最大值．
解答：解：（Ⅰ）拋物線y²=2px（p＞0）的準線為，
由拋物線定義和已知條件可知，
解得p=2，故所求拋物線方程為y²=4x．
（Ⅱ）聯(lián)立，消x并化簡整理得y²+8y-8b=0．
依題意應有△=64+32b＞0，解得b＞-2．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8b，
設圓心Q（x，y），則應有．
因為以AB為直徑的圓與x軸相切，得到圓半徑為r=|y|=4，
又．
所以，
解得．
所以，所以圓心為．
故所求圓的方程為．
（Ⅲ）因為直線l與y軸負半軸相交，所以b＜0，
又l與拋物線交于兩點，由（Ⅱ）知b＞-2，所以-2＜b＜0，
直線l：整理得x+2y-2b=0，
點O到直線l的距離，
所以．
令g（b）=b³+2b²，-2＜b＜0，，

b
g'（b）	+		-
g（b）		極大

由上表可得g（b）最大值為．
所以當時，△AOB的面積取得最大值．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，注意導數(shù)的合理運用．