Question

【題目】設(shè)中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過(guò)點(diǎn)，F為C的右焦點(diǎn)，⊙F的方程為

（1）求C的方程；

（2）若直線與⊙O相切，與⊙F交于M、N兩點(diǎn)，與C交于P、Q兩點(diǎn)，其中M、P在第一象限，記⊙O的面積為，求取最大值時(shí)，直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）由圓的方程求出圓心坐標(biāo)即得焦點(diǎn)方程，由橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和得長(zhǎng)軸長(zhǎng)，從而有，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，及值可求得得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）先確定與圓和橢圓的位置關(guān)系，為下面作距離的差做準(zhǔn)備．直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后的二次方程，設(shè)，由韋達(dá)定理，得

,.由橢圓中的弦長(zhǎng)公式得，然后求，由原點(diǎn)到直線的距離求得圓半徑得面積，求出后用基本不等式可求得最大值及此時(shí)的值，得直線方程．

（1）解：設(shè)C的方程為.

由題設(shè)知①

因?yàn)椤?/span>F的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

所以F的坐標(biāo)為，半徑.

設(shè)左焦點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為.

由橢圓定義，可得

②

由①②解得.

所以C的方程為.

（2）由題設(shè)可知，M在C外，N在C內(nèi)，P在⊙F內(nèi)，Q在⊙F外，在直線l上的四點(diǎn)滿足

.

由消去y得

因?yàn)橹本�l過(guò)橢圓C內(nèi)的右焦點(diǎn)F，

所以該方程的判別式恒成立.

設(shè)

由韋達(dá)定理，得

.

又因?yàn)椤?/span>F的直徑,

所以

.

可化為.

因?yàn)?/span>l與⊙O相切，所以⊙O的半徑，

所以.

所以

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

因此，直線l的方程為.