Question

橢圓的兩個焦點為F₁（-c，0），F₂（c，0），M是橢圓上的一點，且滿足．
（1）求離心率的取值范圍；
（2）當離心率e取得最小值時，點N（0，3）到橢圓上的點的最遠距離為；
①求此時橢圓G的方程；
②設斜率為k（k≠0）的直線L與橢圓G相交于不同的兩點A、B，Q為AB的中點，問A、B兩點能否關于過點、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點是平面向量的數量積運算，橢圓的標準方程，橢圓的性質及直線與橢圓的關系等知識點，
（1）我們設M（x，y），則易得向量的坐標，由，結合向量垂直的充要條件，我們即可得到x，y的關系式，又由M又在橢圓上，代入橢圓方程即可得到離心率的取值范圍．
（2）①由（1）的結論，我們易得到離心率e取得最小值時的橢圓方程（含參數），再點N（0，3）到橢圓上的點的最遠距離為，我們易得到關于參數的方程，解方程即可得到橢圓的方程．②設出未知直線的方程，然后聯立直線方程與橢圓方程，得到一個關于x的一元二次方程，然后使用“設而不求”的方法，結合韋達定理及A、B兩點能否關于過點、Q的直線對稱構造不等式組，解不等式組即可得到k的取值范圍．
解答：解：（1）設M（x，y），則
由（1分）
又M在橢圓上，∴（2分）
∴，（3分）
又0≤x²≤a²∴，（4分）
∵0＜e＜1，∴（5分）
（2）①當時得橢圓為
設H（x，y）是橢圓上一點，
則|HN|²=x²+（y-3）²=（2b²-2y²）+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b）
（6分）
設0＜b＜3，則-3＜-b＜0，當y=-b時，|HN|_max²=b²+6b+9，，由題意得b²+6b+9=50
∴，與0＜b＜3矛盾，（7分）
設b≥3得-b≤-3，當y=-3時，|HN|_max²=2b²+18，，由2b²+18=50得b²=16，（合題薏）
∴橢圓方程是：（8分）
②．設l：y=kx+m由
而△＞0⇒m²＜32k²+16（9分）
又A、B兩點關于過點、Q的直線對稱
∴，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則（10分）
∴（11分）
∴（10分）
又k≠0，∴或（11分）
∴需求的k的取值范圍是或（12分）
點評：在處理直線與圓錐曲線的關系類問題時，我們的使用的方法及思路一般有：①聯立方程；②設而不求；③韋達定理；④弦長公式等．