Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0；
（1）若圓C的切線在x軸，y軸上的截距相等，求此切線方程；
（2）求圓C關于直線x-y-3=0的對稱的圓方程
（3）從圓C外一點P（x₁，y₁）向圓引一條切線，切點為M，O為原點，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）求出圓心和半徑，設直線方程為x+y-a=0或y=kx，由圓心C到切線的距離等于半徑，求出待定系數(shù)a和k的值，即可得到所求切線方程；
（2）求出圓心關于直線x-y-3=0 的對稱點坐標，而對稱圓的半徑和已知圓的半徑相等，由圓方程的一般式即可求出對稱圓的方程；
（3）由切線的性質得到△PCM為直角三角形，利用勾股定理得|PC|²=|PM|²+r²，由|PM|²=|PO|²利用兩點間的距離公式化簡可得點P的軌跡為2x₁-4y₁+3=0，再求得原點在直線2x-4y+3=0上的射影點，即得使|PM|最小的P點的坐標．

解答：解：（1）圓C：x²+y²+2x-4y+3=0即（x+1）²+（y-2）²=2，
表示圓心為C（-1，2），半徑等于

2

的圓．
設斜率為-1的切線方程為x+y-a=0，過原點的切線方程為kx-y=0，
則圓心C到切線的距離等于半徑，
可得：

2

=

|-1+2-a|

2

，求得a=-1或3．
再由

2

=

|-k+2|

k2+1

，求得k=2±

6

，
故所求的切線的方程為x+y-3=0或x+y+1=0或y=（2±

6

）x；
（2）由（1）圓C（x+1）²+（y-2）²=2的圓心在（-1，2），半徑等于

2

．
∵點P（m，n）關于直線x-y-3=0的對稱的點為P'（n+3，m-3）
∴點（-1，2）關于直線x-y-3=0對稱的點的
坐標為（2+3，-1-3）即（5，-4），
故圓C關于直線x-y-3=0的對稱的圓方程是 （x-5）²+（y+4）²=2；
（3）設P的坐標為（x，y）
由于|PC|²=|PM|²+|CM|²=|PM|²+r²，
∴|PM|²=|PC|²-r²．
又∵|PM|=|PO|，∴|PC|²-r²=|PO|²，
∴（x₁+1）²+（y₁-2）²-2=x₁²+y₁²．
∴2x₁-4y₁+3=0即為動點P的軌跡方程．
∵原點在直線2x-4y+3=0上的射影點為（-

3

10

，

3

5

），
∴使|PM|最小的P點的坐標為（-

3

10

，

3

5

）．

點評：本題給出圓的方程，求圓在軸上截距相等的切線方程和圓關于直線對稱的圓的方程．著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．