Question

（2012•浙江模擬）已知函數(shù)f（x）=x³-2x+1，g（x）=lnx．
（Ⅰ）求F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）是否存在實常數(shù)k和m，使得x＞0時，f（x）≥kx+m且g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得F（x）的極小值；
（Ⅱ）因f（x）與g（x）有一個公共點（1，0），而函數(shù)g（x）在點（1，0）的切線方程為y=x-1，驗證

f(x)≥x-1 g(x)≤x-1

都成立即可．

解答：解：（Ⅰ）F（x）=x³-2x+1-lnx（x＞0），求導(dǎo)數(shù)得F′(x)=

(x-1)(3x+1)

x

(x＞0)
令F′（x）＞0，∵x＞0，∴可得x＞1；
]令F′（x）＜0，∵x＞0，∴可得0＜x＜1；
∴F（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，從而F（x）的極小值為F（1）=0．…（6分）
（Ⅱ）因f（x）與g（x）有一個公共點（1，0），而函數(shù)g（x）在點（1，0）的切線方程為y=x-1．…（9分）
下面驗證

f(x)≥x-1 g(x)≤x-1

都成立即可．
設(shè)h（x）=x³-2x+1-（x-1）=x³-3x+2（x＞0）
求導(dǎo)數(shù)得h'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）（x＞0）
∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）=x³-2x+1-（x-1）（x＞0）的最小值為h（1）=0，所以f（x）≥x-1恒成立．                   …（12分）
設(shè)k(x)=lnx-(x-1)⇒k′(x)=

1-x

x

(x＞0)k（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以k（x）=lnx-（x-1）的最大值為k（1）=0所以k（x）≤x-1恒成立．
故存在這樣的實常數(shù)k和m，且k=1且m=-1．                 …（15分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，將問題轉(zhuǎn)化為驗證

f(x)≥x-1 g(x)≤x-1

都成立是關(guān)鍵．