Question

（本小題滿分14分）
如圖，四棱錐的底面是邊長為的正方形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

⑴求證：平面；
⑵求證：平面平面；
⑶若，求三棱錐的體積．

Answer 1

⑴見解析； ⑵見解析；⑶．

本試題主要是考查了立體幾何中線面的平行的證明以及面面垂直的鄭敏而后三棱錐體積的運(yùn)算的綜合運(yùn)用。
⑴要證明平面；只要證明線線平行即可，運(yùn)用判定定理得得到結(jié)論。
⑵要證平面平面；先通過線面垂直的證明，結(jié)合面面垂直的判定定理得到面面垂直。
⑶因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223133583474.png" style="vertical-align:middle;" />，那么三棱錐的體積利用轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)法來表示可得．
⑴設(shè)交于，連結(jié)．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223133879539.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223133224316.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，所以為的中位線，
所以， ……………3分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223134051501.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以平面．……5分     
⑵因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223134160534.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223133146400.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以，又，
所以平面．………………………………………………………………8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823223134238420.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面平面．…………………………10分
⑶．…………………………14分