Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量 =（﹣1，2），又點(diǎn)A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t），θ∈R．
（1）若 ⊥ ，且 ，求向量 ；
（2）若向量 與向量 共線，常數(shù)k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解： =（n﹣8，t），∵ ⊥ ，且 ，∴﹣（n﹣8）+2t=0， =8 ，

解得t=±8，t=8時(shí)，n=24；t=﹣8時(shí)，n=﹣8．

∴向量 =（24，8），（﹣8，﹣8）．（2） =（ksinθ﹣8，t），

（2）解：∵向量 與向量 共線，常數(shù)k＞0，∴t=﹣2ksinθ+16，

∴f（θ）=tsinθ=﹣2ksin2θ+16sinθ=﹣2k + ．

①k＞4時(shí)， ，∴sinθ= 時(shí)，f（θ）=tsinθ取得最大值 ，

sinθ=﹣1時(shí)，f（θ）=tsinθ取得最小值﹣2k﹣16，此時(shí)函數(shù)f（θ）的值域?yàn)? ．

②4＞k＞0時(shí)， ＞1．∴sinθ=1時(shí)，f（θ）=tsinθ取得最大值﹣2k+16，

sinθ=﹣1時(shí)，f（θ）=tsinθ取得最小值﹣2k﹣16，

此時(shí)函數(shù)f（θ）的值域?yàn)閇﹣2k﹣16，﹣2k+16]．

【解析】（1） =（n﹣8，t），由 ⊥ ，且 ，可得﹣（n﹣8）+2t=0， =8 ，聯(lián)立解出即可得出．（2） =（ksinθ﹣8，t），由向量 與向量 共線，常數(shù)k＞0，可得t=﹣2ksinθ+16，f（θ）=tsinθ=﹣2ksin2θ+16sinθ=﹣2k + ．對(duì)k分類討論，利用三角函數(shù)的值域、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則;;設(shè)，則)．