Question

如圖所示的樹形圖形中，第一層是一條與水平線垂直的線段，長度為1；第二層在第一層線段的前端作兩條與該段均成135°的線段，長度為其一半；第三層按第二層的方法在每一線段的前端生成兩條線段；……重復前面的作法作圖至第層．設樹形圖的第層的最高點到水平線的距離為第層樹形圖的高度．

(1)求第三層及第四層樹形圖的高度H₃，H₄；

(2)求第層樹形圖的高度；

(3)若樹形圖的高度大于2，則稱樹形圖為“高大”，否則稱為“矮小”．顯然，當=1，2時，樹形圖是“矮小”的．是否存在m∈Z，使得當時，該樹形圖是“高大”的?

Answer 1

解：(1)設題中樹形圖(從上而下)新生的各層高度所構成的數(shù)列為{}，

則，

       所以，第三層樹形圖的高度

       第四層樹形圖的高度．

       (2)易知，所以第層樹形圖的高度為

       所以，當為奇數(shù)時，第層樹形圖的高度為

        

      =；

       當為偶數(shù)時，第層樹形圖的高度為

      

     =

(3)不存在．

由(2)知，當為奇數(shù)時，

；

當為偶數(shù)時，

，

由定義知，此樹形圖永遠是“矮小”的．所以不存在m∈Z．使得當時，

該樹形圖是“高大”的．