Question

已知關(guān)于的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．記函數(shù) 在區(qū)間上的最大值為．
(1) 如果函數(shù)在處有極值，試確定的值；
(2) 若，證明對(duì)任意的，都有；
(3) 若對(duì)任意的恒成立，試求的最大值．

Answer 1

（1），；（2）證明詳見(jiàn)解析；（3）.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，先對(duì)求導(dǎo)，由于在x=1處有極值，則，，列出方程組，解出b和c的值，由于得到了兩組值，則需要驗(yàn)證看是否符合已知條件，若不符合需舍掉；第二問(wèn)，可以利用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)直接證明，也可以利用反證法證明出矛盾，從而得到正確結(jié)論；第三問(wèn)，結(jié)合第二問(wèn)的結(jié)論，可以直接得到時(shí)的情況，當(dāng)時(shí)需分，，三種情況討論，最后綜合所有情況再得出結(jié)論.
試題解析：（1） ∵，由在處有極值，可得
，解得，或           2分
若，，則，此時(shí)函數(shù)沒(méi)有極值； 3分
若，，則,此時(shí)當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴ 當(dāng)時(shí)，有極大值，故，即為所求。           4分
（2）證法一：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸位于區(qū)間之外
∴ 在區(qū)間上的最值在兩端點(diǎn)處取得，故應(yīng)是和中較大的一個(gè)
∴ ，即     8分
證法二（反證法）：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060246838404.png" style="vertical-align:middle;" />，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸位于區(qū)間之外，
∴ 在區(qū)間上的最值在兩端點(diǎn)處取得，故應(yīng)是和中較大的一個(gè)，
假設(shè)，則，將上述兩式相加得:          6分
,得，產(chǎn)生矛盾，
∴                                                         8分
（3）
（�。┊�(dāng)時(shí)，由（2）可知；                                         9分
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸位于區(qū)間之內(nèi)，
此時(shí)，由，有
①若，則，則，
于是
                                            11分
②若，則，則
于是       13分
綜上可知，對(duì)任意的、都有
而當(dāng)，時(shí)，在區(qū)間上的最大值 ，故對(duì)任意的、恒成立的的最大值為。                                              14分