Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD= AD，AE⊥PC于點E，EF∥CD，交PD于點F （Ⅰ）證明：平面ADE⊥平面PBC
（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD， ∵AD⊥DC，∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC，
∵AE⊥PC，∴PC⊥平面ADE，
∵PC平面PBC，∴平面ADE⊥平面PBC．
解：（Ⅱ）設AB=1，則PD= ，PC=PA=2，
由（Ⅰ）知PC⊥平面ADE，
∴DE⊥PC，CE= ，PE= ，
以DA，DC，DP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0， ），
E（0， ， ），F(xiàn)（0，0， ），
設平面AEF的法向量為 =（x，y，z），
則 ，取x= ，得 =（ ），
∵PC⊥平面ADE，∴平面ADE的一個法向量是 =（0，1，﹣ ），
設二面角D﹣AE﹣F的平面角為θ，
cosθ= = ，
∴二面角D﹣AE﹣F的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）推導出PD⊥AD，AD⊥PC，AE⊥PC，從而PC⊥平面ADE，由此能證明平面ADE⊥平面PBC．（Ⅱ）以DA，DC，DP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣F的余弦值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直)．