Question

已知雙曲線C的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，實半軸長與虛半軸長的乘積為

3

，直線l過點F₂，且與線段F₁F₂的夾角為α，tanα=

21

2

，直線l與線段F₁F₂的垂直平分線的交點為P，線段PF₂與雙曲線的交點為Q，且

PQ

=2

QF2

，求雙曲線方程．

Answer 1

分析：設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，和Q的坐標(biāo)，過Q做x軸垂線，垂足為A，|根據(jù)，|PQ|：|QF₂|=|OA|：|AF|和|OA|+|AF|=c，推斷出：|OA|=

2

3

c=x，|AF₂|=

c

3

，進而根據(jù)tanα求得y的表達(dá)式，則Q點坐標(biāo)可知，代入橢圓方程同時利用c²=a²+b²轉(zhuǎn)化成關(guān)于

b2

a2

的方程，求得

b2

a2

的值，進而根據(jù)ab=

3

聯(lián)立求得a和b，則雙曲線的方程可得．

解答：解：雙曲線方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，Q（x，y），F(xiàn)₂（c，0），
過Q做x軸垂線，垂足為A，|PQ|：|QF₂|=2：1=|OA|：|AF|，|OA|+|AF|=c，
所以：|OA|=

2

3

c=x，|AF₂|=

c

3

，
tanα=

21

2

=

y

|AF|

∴y=

21 c

6

，即：Q（

2

3

C，

21 c

6

）
代入方程，

4c2

9a2

-

7c2

12b2

=1，
∵c²=a²+b²代入，化簡：

16b2

a2

-

21a2

6b 2

-41=0，
令

b2

a2

=k，
16k²-41k-21=0，
（k-3）（16k+7）=0，
k=3或-

7

16

（負(fù)舍）
即：

b2

a2

=3，又ab=

3

，解方程組，得
a=1，b=

3

，
故雙曲線方程為：x²-

y2

3

=1．

點評：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解題的關(guān)鍵是盡可能多的從條件中挖掘有效信息，綜合運用所學(xué)知識．