Question

（2013•延慶縣一模）已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-2（a≠0）有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，則（　�。�

A．當(dāng)a＜0時(shí)，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0

B．當(dāng)a＜0時(shí)，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0

C．當(dāng)a＞0時(shí)，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0

D．當(dāng)a＞0時(shí)，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0

Answer 1

分析：求導(dǎo)數(shù)可得x=0，或x=-

2b

3a

時(shí)，函數(shù)取得極值，要滿足題意需f（-

2b

3a

）=0，可得a，b的關(guān)系，當(dāng)a＞0時(shí)，x₁+x₂的正負(fù)不確定，不合題意；當(dāng)a＜0，可得x₁x₂＜0，x₁+x₂＞0，進(jìn)而可得答案．

解答：解：原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=3ax²+2bx=x（3ax+2b），
令f′（x）=0，可解得x=0，或x=-

2b

3a

，
故當(dāng)x=0，或x=-

2b

3a

時(shí)，函數(shù)取得極值，又f（0）=-2＜0，
所以要使函數(shù)f（x）=ax³+bx²-2（a≠0）有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
則必有f（-

2b

3a

）=a(-

2b

3a

)3+b(-

2b

3a

)2-2=0，解得b3=

27a2

2

，且b＞0，
即函數(shù)的一根為x₁=-

2b

3a

，
（1）如下圖，若a＞0，可知x₁=-

2b

3a

＜0，且為函數(shù)的極大值點(diǎn)，x=x₂處為函數(shù)的極小值點(diǎn)，
此時(shí)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)：-

2b

3a

，x₂＞0，顯然有x₁x₂＜0，但x₁+x₂的正負(fù)不確定，故可排除C，D；
（2）如圖2，若a＜0，必有x₁=-

2b

3a

＞0，此時(shí)必有x₁x₂＜0，x₁=-

2b

3a

的對(duì)稱點(diǎn)為x=

2b

3a

，
則f（

2b

3a

）=a(

2b

3a

)3+b(

2b

3a

)2-2=

20b3

27a2

-2=

20

27a2

×

27a2

2

-2=8＞0，
則必有x₂＞

2b

3a

，即x₂-

2b

3a

＞0，即x₁+x₂＞0
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，涉及三次函數(shù)的圖象以及分類討論的思想，屬中檔題