Question

12、已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和S_n滿足6S_n=a_n²+3a_n+2，且a₁，a₃，a₁₁成等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為

a_n=3n-1

．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的含有前n項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系式，仿寫一個(gè)式子，兩個(gè)式子相減，得到兩項(xiàng)之間的關(guān)系，得到數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，求出首項(xiàng)，根據(jù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，去掉不合題意的首項(xiàng)，得到通項(xiàng)．

解答：解：∵6S_n=a_n²+3a_n+2，①
∴6S_n+1=a_n+1²+3a_n+1+2，②
②-①得到6a_n+1=a_n+1²+3a_n+1-a_n^2-3a_n
∴3（a_n+1+a_n）=（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）
∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，
∴a_n+1-a_n=3或a_n+1+a_n=0
∴數(shù)列是一個(gè)公差為3的等差數(shù)列，
∵6a₁=a₁²+3a₁+2
∴a₁=1或2，
∵a₁，a₃，a₁₁成等比數(shù)列
∴當(dāng)a₁=1時(shí)，1，7，31不成等比數(shù)列，
首項(xiàng)等于2時(shí)，2，8，32成等比數(shù)列，
∴首項(xiàng)等于2，
∴數(shù)列的通項(xiàng)是a_n=3n-1
故答案為：a_n=3n-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)，本題解題的關(guān)鍵是仿寫一個(gè)式子，兩個(gè)式子相減得到只含有通項(xiàng)的式子，在仿寫的時(shí)候注意仿寫一個(gè)n+1的式子，不然要討論n的取值．