在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi),以點(diǎn)E為中心的7n mile以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55n mile處有一個(gè)雷達(dá)觀測站A,某時(shí)刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40 n mile的位置B,經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東 (其中,)且與點(diǎn)A相距10n mile的位置C.
(I)求該船的行駛速度(單位:n mile /h);
(II)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會進(jìn)入警戒水域,并說明理由.
(I)船的行駛速度為(海里/小時(shí)).(II)船會進(jìn)入警戒水域.
解析試題分析:(I)根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出,然后利用余弦定理求出BC的值,從而可求出船的行駛速度.
(II)判斷船是否會進(jìn)入警戒水域,關(guān)鍵是看點(diǎn)E到直線l的距離與半徑7的關(guān)系,因而可求出直線l的方程,以及E點(diǎn)坐標(biāo),然后再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到結(jié)論.
(I)如圖,AB=40,AC=10,
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行駛速度為(海里/小時(shí)).
(II)解法一 如圖所示,以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,
設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B(x1,y2), C(x1,y2),
BC與x軸的交點(diǎn)為D.
由題設(shè)有,x1=y1= AB=40,
x2=ACcos,
y2=ACsin
所以過點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.
又點(diǎn)E(0,-55)到直線l的距離d=
所以船會進(jìn)入警戒水域.
解法二: 如圖所示,設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點(diǎn)Q.
在△ABC中,由余弦定理得,
==.
從而
在中,由正弦定理得,AQ=
由于AE=55>40=AQ,所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間,且QE=AE-AQ=15.
過點(diǎn)E作EP BC于點(diǎn)P,則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.
在Rt中,PE=QE·sin
=所以船會進(jìn)入警戒水域.
考點(diǎn):正余弦定理在解三角形當(dāng)中的應(yīng)用,直線方程,點(diǎn)到直線的距離,直線與圓的位置關(guān)系.
點(diǎn)評:掌握正余弦定理及能解決的三角形類型是解三角形的前提.第(II)問關(guān)鍵是知道如何判斷船是否會進(jìn)入警戒水域,實(shí)質(zhì)是直線與圓的位置關(guān)系的判斷.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知在銳角△ABC中,a, b, c分別為角A、B、C所對的邊,向量,,.
(1)求角A的大;
(2)若a=3,求△ABC面積的最大值.
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(本題滿分14分)已知函數(shù)
(1)在銳角中,,,分別是角,,的對邊;若, sin(AC)=sinC,求的面積.
(2)若,求的值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c,已知向量="(1,cosA" -1),=(cosA,1)且滿足⊥.
(Ⅰ)求A的大;
(Ⅱ)若a=,b+c=3 求b、c的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)在中,分別是角的對邊,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求面積的最大值,并判斷此時(shí)的形狀.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng),據(jù)檢測,當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市O(如圖)的東偏南方向300 km的海面P處,并以20 km / h的速度向西偏北的方向移動,臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域,當(dāng)前半徑為60 km ,并以10 km / h的速度不斷增加,問幾小時(shí)后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲?持續(xù)多長時(shí)間?
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