設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且滿足,.
(1)求的值;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)證明:對一切正整數(shù),有.
(1);(2);(3)詳見解析.
解析試題分析:(1)將代入方程得到,結(jié)合題中條件(數(shù)列的各項均為正數(shù),得到)求出的值,從而得到的值;(2)由十字相乘法結(jié)合得到的表達(dá)式,然后在的情況下,由求出數(shù)列的表達(dá)式,并驗證是否滿足該表達(dá)式,從而得到數(shù)列的通項公式;(3)解法一是利用放縮法得到
,于是得到,最后利用裂項求和法證明題中的不等式;解法二是保持不放縮,在的條件下放縮為
,最后在和時利用放縮法結(jié)合裂項法證明相應(yīng)的不等式.
(1)令得:,即,,
,,即;
(2)由,得,
,,從而,,
所以當(dāng)時,,
又,;
(3)解法一:當(dāng)時,,
.
證法二:當(dāng)時,成立,
當(dāng)時,,
則
.
考點:本題以二次方程的形式以及與的關(guān)系考查數(shù)列通項的求解,以及利用放縮法證明數(shù)列不等式的綜合問題,考查學(xué)生的計算能力與邏輯推理能力,屬于中等偏難題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列的各項均為正數(shù),是數(shù)列的前n項和,且.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列的前項和為,對任意的正整數(shù),都有成立,記.(1)(1)求數(shù)列與數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,是否存在正整數(shù),使得成立?若存在,找出一個正整數(shù);若不存在,請說明理由.
(3)記,設(shè)數(shù)列的前項和為,求證:對于都有
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知是公差不為零的等差數(shù)列,,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
水土流失是我國西部大開發(fā)中最突出的問題,全國9100萬畝坡度為25°以上的坡耕地需退耕還林,其中西部占70%,2002年國家確定在西部地區(qū)退耕還林面積為515萬畝,以后每年退耕土地面積遞增12%.
(1)試問,從2002年起到哪一年西部地區(qū)基本上解決退耕還林問題?
(2)為支持退耕還林工作,國家財政補助農(nóng)民每畝300斤糧食,每斤糧食按0.7元計算,并且每畝退耕地每年補助20元,試問到西部地區(qū)基本解決退耕還林問題時,國家財政共需支付約多少億元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列,偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列.數(shù)列前項和為,且滿足
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列前項和;
(3)在數(shù)列中,是否存在連續(xù)的三項,按原來的順序成等差數(shù)列?若存在,求出所有滿足條件的正整數(shù)的值;若不存在,說明理由.
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