【題目】過拋物線的一條弦的中點作平行于拋物線對稱軸的平行線(或與對稱軸重合),交拋物線于一點,稱以該點及弦的端點為頂點的三角形為這條弦的阿基米德三角形(簡稱阿氏三角形).

現(xiàn)有拋物線:,直線(其中,是常數(shù),且),直線交拋物線,兩點,設(shè)弦的阿氏三角形是.

1)指出拋物線的焦點坐標(biāo)和準線方程;

2)求的面積(用,,表示);

3)稱的阿氏為一階的;、的阿氏為二階的;、的阿氏三角形為三階的;……,由此進行下去,記所有的階阿氏三角形的面積之和為,探索之間的關(guān)系,并求.

【答案】(1)焦點坐標(biāo):,準線方程:;(2;(3,

【解析】

1)將拋物線方程化為標(biāo)準方程后即可求得焦點坐標(biāo)和準線方程;

2)將直線方程代入拋物線方程,利用韋達定理可求得,根據(jù)可整理得到,代入整理可得結(jié)果;

3)由(2)知,繼續(xù)求解阿氏三角形面積可知,進而分析得到;可知為無窮等比數(shù)列,利用無窮等比數(shù)列前項和的極限的求法可求得結(jié)果.

1)由得:

拋物線焦點坐標(biāo)為,準線方程為:

2)將代入拋物線方程得:,則

設(shè),

中點,

,

3)設(shè)是拋物線上的任意一條弦,由(2)知

設(shè)弦、的阿氏三角形依次為

上述討論表明,階中的每一個阿氏三角形都可以生成階中的兩個阿氏三角形,且后者的面積之和是前者面積的

階中的個阿氏三角形面積之和階中的個阿氏三角形面積之和滿足

是首先為,公比為的無窮等比數(shù)列

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1)求證:;

2)若二面角的大小為時,求的中線與面所成角的正弦值.

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單價x(元)

6

6.2

6.4

6.6

6.8

7

銷量y(萬件)

80

74

73

70

65

58

數(shù)據(jù)顯示單價x與對應(yīng)的銷量y滿足線性相關(guān)關(guān)系.

1)求銷量y(件)關(guān)于單價x(元)的線性回歸方程

2)根據(jù)銷量y關(guān)于單價x的線性回歸方程,要使加工后收益P最大,應(yīng)將單價定為多少元?(產(chǎn)品收益=銷售收入-成本).

參考公式:==,

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【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線交于,兩點,且.

(1)求的方程;

(2)試問:在軸的正半軸上是否存在一點,使得的外心在上?若存在,求的坐標(biāo);若不存在,請說明理由..

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【題目】隨著“互聯(lián)網(wǎng)+交通”模式的迅猛發(fā)展,“共享自行車”在很多城市相繼出現(xiàn)。某運營公司為了了解某地區(qū)用戶對其所提供的服務(wù)的滿意度,隨機調(diào)查了40個用戶,得到用戶的滿意度評分如下:

用戶編號

評分

用戶編號

評分

用戶編號

評分

用戶編號

評分

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

78

73

81

92

95

85

79

84

63

86

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

88

86

95

76

97

78

88

82

76

89

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

79

83

72

74

91

66

80

83

74

82

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

93

78

75

81

84

77

81

76

85

89

用系統(tǒng)抽樣法從40名用戶中抽取容量為10的樣本,且在第一分段里隨機抽到的評分數(shù)據(jù)為92.

(1)請你列出抽到的10個樣本的評分數(shù)據(jù);

(2)計算所抽到的10個樣本的均值和方差;

(3)在(2)條件下,若用戶的滿意度評分在之間,則滿意度等級為“級”。試應(yīng)用樣本估計總體的思想,根據(jù)所抽到的10個樣本,估計該地區(qū)滿意度等級為“級”的用戶所占的百分比是多少?

(參考數(shù)據(jù):

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(1)求的方程;

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某商家因原店面需要重新裝修,需租賃一家新店面進行周轉(zhuǎn),合約期一年.新店面需安裝該品牌節(jié)能燈5支(同種型號)即可正常營業(yè).經(jīng)了解,20瓦和55瓦的兩種節(jié)能燈照明效果相當(dāng),都適合安裝.已知型和型節(jié)能燈每支的價格分別為120元、25元,當(dāng)?shù)厣虡I(yè)電價為0.75/千瓦時,假定該店面正常營業(yè)一年的照明時間為3600小時,若正常營業(yè)期間燈壞了立即購買同型燈更換.(用頻率估計概率)

1)若該商家新店面全部安裝了型節(jié)能燈,求一年內(nèi)恰好更換了2支燈的概率;

2)若只考慮燈的成本和消耗電費,你認為該商家應(yīng)選擇哪種型號的節(jié)能燈,請說明理由.

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