Question

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，且過點（1，）．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設與圓O：x2+y2=相切的直線l交橢圓C于A，B兩點，求△OAB面積的最大值，及取得最大值時直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用離心率把橢圓方程設成：，代入橢圓上的點可得橢圓方程．

（2）設直線為，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元得到，利用韋達定理把面積表示關于的函數(shù)，利用基本不等式求面積的最大值，注意討論直線的斜率不存在情形．

（1）由題意可得，，故，，

所以橢圓方程為．

將點代入橢圓方程，可得，故，

即有橢圓的方程為．

（2）①當不存在時，時，可得，

；

②當存在時，設直線為，，

將直線代入橢圓方程可得，

，，

由直線與圓相切，可得，

即有，

又

，

當且僅當9即時等號成立，

此時，

即有面積的最大值為，此時直線方程．