Question

某單位有三輛汽車參加某種事故保險(xiǎn)，單位年初向保險(xiǎn)公司繳納每輛900元的保險(xiǎn)金，對(duì)在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的車輛，單位獲9000元的賠償（假設(shè)每輛車最多只賠償一次）．設(shè)這三輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為0.1，0.2，0.4，且各車是否發(fā)生事故相互獨(dú)立．求一年內(nèi)該單位在此保險(xiǎn)中：
（1）獲賠的概率；
（2）獲賠金額ξ的分布列與期望．

Answer 1

分析：（1）用A_i表示“第i輛車發(fā)生此種事故”，

.

Ai

表示其對(duì)立事件，則P（A₁）=0.1，P（A₂）=0.2，P（A₃）=0.4，P(

.

A1

)=0.9，P(

.

A2

)=0.8，P(

.

A3

)=0.6．
A表示“一年內(nèi)該單位在此保險(xiǎn)中獲賠”，則P（A）=1-P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=1-P(

.

A1

)P(

.

A2

)P(

.

A3

)．
（2）由題意可得ξ=0，9000，18000，27000．則P（ξ=0）=P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=P(

.

A1

)•P(

.

A2

)•P(

.

A3

)；P（ξ=9000）=P(A1)P(

.

A2

)P(

.

A3

)+P(

.

A1

)P(A2)P(

.

A3

)+P(

.

A1

)P(

.

A2

)P(A3)，P（ξ=27000）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）．P（ξ=18000）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）．即可得出分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）用A_i表示“第i輛車發(fā)生此種事故”，

.

Ai

表示其對(duì)立事件，則P（A₁）=0.1，P（A₂）=0.2，P（A₃）=0.4，P(

.

A1

)=0.9，P(

.

A2

)=0.8，P(

.

A3

)=0.6．
A表示“一年內(nèi)該單位在此保險(xiǎn)中獲賠”，則P（A）=1-P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=1-P(

.

A1

)P(

.

A2

)P(

.

A3

)=1-0.9×0.8×0.6=0.568．
（2）由題意可得ξ=0，9000，18000，27000．
則P（ξ=0）=P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=P(

.

A1

)•P(

.

A2

)•P(

.

A3

)=0.9×0.8×0.6=0.432；P（ξ=9000）=P(A1)P(

.

A2

)P(

.

A3

)+P(

.

A1

)P(A2)P(

.

A3

)+P(

.

A1

)P(

.

A2

)P(A3)=0.444，
P（ξ=27000）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）=0.1×0.2×0.4=0.008．P（ξ=18000）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=0.116．
故ξ的分布列為可得ξ的分布列為

ξ	0	9000	18000	27000
P（ξ）	0.432	0.444	0.116	0.008

Eξ=0×0.432+9000×0.444+18000×0116+27000×0.008=6300．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)及其數(shù)學(xué)期望、對(duì)立事件的概率計(jì)算、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．