Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別是F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），直線l：x=my+c與橢圓C交于兩點(diǎn)M，N且當(dāng)m=-

3

3

時(shí)，M是橢圓C的上頂點(diǎn)，且△MF₁F₂的周長為6．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A，直線AM，AN與直線：x=4分別相交于點(diǎn)P，Q，問當(dāng)m變化時(shí)，以線段PQ為直徑的圓被x軸截得的弦長是否為定值？若是，求出這個(gè)定值，若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)m=-

3

3

時(shí)，直線的傾斜角為120°，又△MF₁F₂的周長為6，即可求得橢圓方程；
（2）利用特殊位置猜想結(jié)論：當(dāng)m=0時(shí)，直線l的方程為：x=1，求得以PQ為直徑的圓過右焦點(diǎn)，被x軸截得的弦長為6，猜測當(dāng)m變化時(shí)，以PQ為直徑的圓恒過焦點(diǎn)F₂，被x軸截得的弦長為定值6，再進(jìn)行證明即可．

解答：解：（1）當(dāng)m=-

3

3

時(shí)，直線的傾斜角為120°，又△MF₁F₂的周長為6
所以：

2a+2c=6 c a =cos60°

…（3分）
解得：a=2，c=1⇒b=

3

，…（5分）
所以橢圓方程是：

x2

4

+

y2

3

=1；…（6分）
（2）當(dāng)m=0時(shí)，直線l的方程為：x=1，此時(shí)，M，N點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(1，

3

2

)，(1，-

3

2

)，又A點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，0），
由圖可以得到P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是（4，3），（4，-3），以PQ為直徑的圓過右焦點(diǎn)，被x軸截得的弦長為6，猜測當(dāng)m變化時(shí)，以PQ為直徑的圓恒過焦點(diǎn)F₂，被x軸截得的弦長為定值6，…（8分）
證明如下：
設(shè)點(diǎn)M，N點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），則直線AM的方程是：

y

y1

=

x+2

x1+2

，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4，

6y1

x1+2

)，同理，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4，

6y2

x2+2

)，…（9分）
由方程組

x2 4 + y2 3 =1 x=my+1

得到：3（my+1）²+4y²=12⇒（3m²+4）y²+6my-9=0，
所以：y1+y2=

-6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

，…（11分）
從而：

F2P

•

F2Q

=(4-1)(4-1)+

36y1y2

(x1+2)(x2+2)

=9+

36y1y2

(my1+3)(my2+3)

=9+

36y1y2

m2y1y2+3m(y1+y2)+9

=9+

-9×36

-9m2-18m2+27m2+36

=0，
所以：以PQ為直徑的圓一定過右焦點(diǎn)F₂，被x軸截得的弦長為定值6．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用特殊位置，猜想結(jié)論，再進(jìn)行證明．