Question

是否存在同時(shí)滿足下列條件的拋物線？若存在，求出它的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（1）準(zhǔn)線是y軸；
（2）頂點(diǎn)在x軸上；
（3）點(diǎn)A（3，0）到此拋物線上動(dòng)點(diǎn)P的距離最小值是2．

Answer 1

分析：假設(shè)存在這樣的拋物線，依題意可設(shè)拋物線方程，設(shè)P（x₀，y₀），代入拋物線方程，進(jìn)而可求得|AP|²令f（a）=|AP|²，看當(dāng)a＞0時(shí)判斷當(dāng)3-2a≥a時(shí)，|AP|²=f（3-2a），當(dāng)3-2a＜a時(shí)，|AP|²=f（a），分別求得a，拋物線方程可得．當(dāng)a＞0時(shí)與已知矛盾，綜合可得答案．

解答：解：假設(shè)存在這樣的拋物線，頂點(diǎn)為（a，0），則方程為y²=4a（x-a）（a≠0），
設(shè)P（x₀，y₀），則y₀²=4a（x₀-a），
|AP|²=（x₀-3）²+y₀²=[x₀-（3-2a）]²+12a-8a²，
令f（a）=|AP|²，
①a＞0時(shí)，有x₀≥a，
當(dāng)3-2a≥a即a∈（0，1]時(shí)，
|AP|²=f（3-2a），∴a=1或a=

1

2

；
拋物線方程為y²=4（x-1）或y²=2（x-

1

2

）．
當(dāng)3-2a＜a即a＞1時(shí)，|AP|²=f（a）．
∴a=5或a=1（舍），
拋物線方程為y²=20（x-5）．
②當(dāng)a＜0時(shí)，顯然與已知矛盾，
∴所求拋物線方程為y²=4（x-1）或y²=2（x-

1

2

）或y²=20（x-5）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的定義．涉及到了函數(shù)的最值問題．做題時(shí)要注意對(duì)a＞0和a＜0時(shí)分別討論．