已知函數(shù)f(x)=
exx-2

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)圖象在與y軸交點處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形面積.
分析:(1)對函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系求單調(diào)區(qū)間.
(2)先求出與y軸的交點,得到切線方程,最后根據(jù)切線方程與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)得到面積.
解答:解:(1)函數(shù)的定義域為{x|x≠2}, f′(x)=
(x-3)ex
(x-2)2

當(dāng)x>3時,f'(x)>0,
當(dāng)x<3且x≠2時,f'(x)<0.
故函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(3,+∞),減區(qū)間為(-∞,-2),(2,3).
(2)函數(shù)f(x)的圖象與y軸交點坐標(biāo)為(0, -
1
2
),?∴f′(0)=
-3
4

故切線方程為y+
1
2
=-
3
4
x

切線與兩坐標(biāo)軸的交點分別為(0, -
1
2
)
(-
2
3
, 0)

∴所求圖象的面積S=
1
2
×
1
2
×
2
3
=
1
6
點評:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系.屬基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
e-x-2,(x≤0)
2ax-1,(x>0)
(a是常數(shù)且a>0).對于下列命題:
①函數(shù)f(x)的最小值是-1;
②函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù);
③若f(x)>0在[
1
2
,+∞)
上恒成立,則a的取值范圍是a>1;
④對任意x1<0,x2<0且x1≠x2,恒有f(
x1+x2
2
)<
f(x1)+f(x2)
2

其中正確命題的序號是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=e-z+log3
1
x
,若實數(shù)x0是方程f(x)=0的解,且x1>x0,則f(x1)的值( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•海淀區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=e-kx(x2+x-
1k
)(k<0)

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)k,使得函數(shù)f(x)的極大值等于3e-2?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•河南模擬)已知函數(shù)f(x)=e-kx(x2+x-
1k
)(k<0)

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)k,使得函數(shù)f(x)的極大值等于3e-2?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
請考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分.作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•孝感模擬)已知函數(shù)
f(x)=
e-x-1,(x≤0)
|lnx|,(x>0)
,集合M={x|f[f(x)]=1},則M中元素的個數(shù)為( 。

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