Question

【題目】記無窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，令，則稱是“極差數(shù)列”.

（1）若，求的前項(xiàng)和；

（2）證明：的“極差數(shù)列”仍是；

（3）求證：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）由是遞增數(shù)列，得，由此能求出的前項(xiàng)和.

（2）推導(dǎo)出，，由此能證明的“極差數(shù)列”仍是.

（3）證當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，設(shè)其公差為，，是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，從而，，由，，，分類討論，能證明若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.

（1）解：∵無窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，，，

是遞增數(shù)列，∴，

∴的前項(xiàng)和.

（2）證明：∵，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴的“極差數(shù)列”仍是

（3）證明：當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，設(shè)其公差為，

，

根據(jù)，的定義，得：

，，且兩個(gè)不等式中至少有一個(gè)取等號(hào)，

當(dāng)時(shí)，必有，∴，

∴是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，∴，，

∴，

∴，∴是等差數(shù)列，

當(dāng)時(shí)，則必有，∴，

∴是一個(gè)單調(diào)遞減數(shù)列，∴，，

∴，

∴.∴是等差數(shù)列，

當(dāng)時(shí)，，

∵，中必有一個(gè)為0，

根據(jù)上式，一個(gè)為0，為一個(gè)必為0，

∴，，

∴數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列.

綜上，若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.