Question

與四面體的一個面及另外三個面的延長面都相切的球稱為該四面體的旁切球，則棱長為1的正四面體的旁切球的半徑r=

6

6

．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意作出圖形，如圖所示，圓O是棱長為1的正四面體ABCD的旁切球的大圓，AF是正四面體ABCD的高，F(xiàn)是底面三角形BCD的中心，AG是大圓O的切線，G為切點，設(shè)大圓的半徑為R，在三角形ABC中，求出AE，在直角三角形AEF中，求出AF，再利用△AOG∽△AEF，得出關(guān)于R的方程即可求出答案．

解答：解：根據(jù)題意作出圖形，如圖所示，圓O是棱長為1的正四面體ABCD的旁切球的大圓，AF是正四面體A-BCD的高，F(xiàn)是底面三角形BCD的中心，AE是側(cè)面上的中線，AG是大圓O的切線，G為切點，設(shè)大圓的半徑為R，
在三角形ABC中，AE=

3

2

=ED，
在直角三角形AEF中，EF=

1

3

ED=

1

3

×

3

2

=

3

6

，
∴AF=

AE2-EF2

=

6

3

，
在三角形AOG和三角形AEF中，∵∠OAG=∠EAF，∠AGO=∠AFE=90°，
∴△AOG∽△AEF，
∴

AO

OG

=

AE

EF

即

6 3 +R

R

=

3 2

3 6

，
∴R=

6

6

．
故答案為：

6

6

．

點評：本小題主要考查球內(nèi)接多面體、棱錐的幾何特征、三角形相似等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查空間想象能力．屬于基礎(chǔ)題．