(2012•梅州一模)已知向量
m
=(sinx,-1),向量
n
=(
3
cosx,-
1
2
),函數(shù)f(x)=(
m
+
n
)•
m

(1)求f(x)的最小正周期T;
(2)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,A為銳角,a=2
3
,c=4,且f(A)恰是f(x)在[0,
π
2
]上的最大值,求A,b和△ABC的面積S.
分析:(1)由向量的數(shù)量積的坐標運算結(jié)合三角函數(shù)的降次公式、輔助角公式,將函數(shù)化簡整理得f(x)=sin(2x-
π
6
)+2,由此不難用三角函數(shù)的周期公式,求出f(x)的最小正周期T;
(2)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值,得到f(x)在x=
π
3
時取得最大值,從而得到A=
π
3
,在△ABC內(nèi)用余弦定理列出關(guān)于邊b的方程,解之即得b的值,最后用面積正弦定理的公式可求出△ABC的面積S.
解答:解:∵向量
m
=(sinx,-1),向量
n
=(
3
cosx,-
1
2
),
m
+
n
=(sinx+
3
cosx,-
3
2
),
由此可得f(x)=(
m
+
n
)•
m
=sinx(sinx+
3
cosx)+
3
2
=sin2x+
3
sinxcosx+
3
2

∵sin2x=
1-cos2x
2
,sinxcosx=
1
2
sin2x
∴f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x+2=sin(2x-
π
6
)+2
(1)根據(jù)三角函數(shù)的周期公式,得周期T=
2
=π;
(2)f(A)=sin(2A-
π
6
)+2,當A∈[0,
π
2
]時,f(A)的最大值為f(
π
3
)=3
∴銳角A=
π
3
,根據(jù)余弦定理,得cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
,可得b2+c2-a2=bc
∵a=2
3
,c=4,
∴b2+16-12=4b,解之得b=2
根據(jù)正弦定理,得△ABC的面積為:S=
1
2
bcsinA=
1
2
×2×4sin
π
3
=2
3
點評:本題以向量的數(shù)量積運算為載體,著重考查了三角函數(shù)的降次公式、輔助角公式和用正余弦定理解三角形等知識,屬于基礎(chǔ)題.
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