Question

某單位有三輛汽車參加某種事故保險(xiǎn)，單位年初向保險(xiǎn)公司繳納每輛900元的保險(xiǎn)金、對(duì)在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的每輛汽車，單位獲9000元的賠償（假設(shè)每輛車最多只賠償一次）．設(shè)這三輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為

1

9

，

1

10

，

1

11

，且各車是否發(fā)生事故相互獨(dú)立，求一年內(nèi)該單位在此保險(xiǎn)中：
（1）獲賠的概率；
（2）獲賠金額ξ的分別列與期望．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A_k表示第k輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故，k=1，2，3、由題意知A₁，A₂，A₃之間相互獨(dú)立，正難則反，該單位一年內(nèi)獲賠的對(duì)立事件是A₁，A₂，A₃都不發(fā)生，用對(duì)立事件的概率做出結(jié)果．
（2）由題意知ξ的所有可能值為0，9000，18000，27000，看出這四個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)的事件，做出事件的概率，寫出分布列，求出期望，概率在解時(shí)情況比較多，要認(rèn)真．

解答：解：（1）設(shè)A_k表示第k輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故，k=1，2，3，
由題意知A₁，A₂，A₃獨(dú)立，且P（A₁）=

1

9

，P（A₂）=

1

10

，P（A₃）=

1

11

∵該單位一年內(nèi)獲賠的對(duì)立事件是A₁，A₂，A₃都不發(fā)生，
∴該單位一年內(nèi)獲賠的概率為1-P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=1-P(

.

A1

)P(

.

A2

)P(

.

A3

)=1-

8

9

×

9

10

×

10

11

=

3

11

．

（Ⅱ）ξ的所有可能值為0，9000，18000，27000
P(ξ=0)=P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=P(

.

A1

)P(

.

A2

)P(

.

A3

)=

8

9

×

9

10

×

10

11

=

8

11

，
P(ξ=9000)=P(A1

.

A2

.

A3

)+P(

.

A1

A2

.

A3

)+P(

.

A1

.

A2

A3)
=P(A1)P(

.

A2

)P(

.

A3

)+P(

.

A1

)P(A2)P(

.

A3

)+P(

.

A1

)P(

.

A2

)P(A3)
=

1

9

×

9

10

×

10

11

+

8

9

×

1

10

×

10

11

+

8

9

×

9

10

×

1

11

=

242

990

=

11

45

，
P(ξ=18000)=P(A1A2

.

A3

)+P(A1

.

A2

A3)+P(

.

A1

A2A3)
=P(A1)P(A2)P(

.

A3

)+P(A1)P(

.

A2

)P(A3)+P(

.

A1

)P(A2)P(A3)
=

1

9

×

1

10

×

10

11

+

1

9

×

9

10

×

1

11

+

8

9

×

1

10

×

1

11

=

27

990

=

3

110

，
P（ξ=27000）=P（A₁A₂A₃）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）
=

1

9

×

1

10

×

1

11

=

1

990

，
綜上知，ξ的分布列為

設(shè)ξ_k表示第k輛車一年內(nèi)的獲賠金額，k=1，2，3，則ξ₁有分布列

∴Eξ1=9000×

1

9

=1000
同理得Eξ2=9000×

1

10

=900，Eξ3=9000×

1

11

≈818.18
綜上有Eξ=Eξ₁+Eξ₂+Eξ₃≈1000+900+818.18=2718.18（元）

點(diǎn)評(píng)：本題最后一問可以這樣解：由ξ的分布列得Eξ=0×

8

11

+9000×

11

45

+18000×

3

110

+27000×

1

990

=

29900

11

≈2718.18（元）