Question

已知函數(shù)f(x)=x-

2

x

+1-alnx，a＞0，
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)a=3，求f（x）在區(qū)間[1，e²]上值域．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=1+

2

x2

-

a

x

，令t=

1

x

得f′（x）=2t²-at+1（t≠0），再進(jìn)行分類討論：當(dāng)△=a²-8≤0，f′（x）≥0恒成立；當(dāng)△=a²-8＞0，即a＞2

2

時(shí)，根據(jù)2t²-at+1＞0，及2t²-at+1＜0，即可確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=3時(shí)，由（1）知，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，在[2，e²]上是增函數(shù)，從而可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e²]上的值．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=1+

2

x2

-

a

x

令t=

1

x

得f′（x）=2t²-at+1（t≠0）
當(dāng)△=a²-8≤0，即0＜a≤2

2

時(shí)，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上都是增函數(shù)；
當(dāng)△=a²-8＞0，即a＞2

2

時(shí)，
由2t²-at+1＞0得t＜

a- a2-8

4

或t＞

a+ a2-8

4

∴x＜0或x＞

a+ a2-8

4

或0＜x＜

a- a2-8

4

又由2t²-at+1＜0得

a- a2-8

4

＜t＜

a+ a2-8

4

，∴

a- a2-8

4

＜x＜

a+ a2-8

4

綜上 當(dāng)0＜a≤2

2

f（x）在（0，+∞）上都是增函數(shù)；當(dāng)a＞2

2

f（x）在(0，

a- a2-8

2

)及(

a+ a2-8

2

，+∞)上都是增函數(shù)，在(

a- a2-8

2

，

a+ a2-8

2

)是減函數(shù)．
（2）當(dāng)a=3時(shí)，由（1）知，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，在[2，e²]上是增函數(shù)．
又f(1)=0，f(2)=2-3ln2＜0，f(e2)=e2-

2

e2

-5＞0
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e²]上的值域?yàn)?span id="q2keqiu" class="MathJye">[2-3ln2， e2-

2

e2

-5]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．