給定一個n項的實數(shù)列a1,a2,…,an(n∈N*),任意選取一個實數(shù)c,變換T(c)將數(shù)列a1,a2,…,an變換為數(shù)列|a1-c|,|a2-c|,…,|an-c|,再將得到的數(shù)列繼續(xù)實施這樣的變換,這樣的變換可以連續(xù)進行多次,并且每次所選擇的實數(shù)c可以不相同,第k(k∈N*)次變換記為Tk(ck),其中ck為第k次變換時選擇的實數(shù).如果通過k次變換后,數(shù)列中的各項均為0,則稱T1(c1),T2(c2),…,Tk(ck)為“k次歸零變換”
(Ⅰ)對數(shù)列:1,2,4,8,分別寫出經(jīng)變換T1(2),T2(3),T3(4)后得到的數(shù)列;
(Ⅱ)對數(shù)列:1,3,5,7,給出一個“k次歸零變換”,其中k≤4;
(Ⅲ)證明:對任意n項數(shù)列,都存在“n次歸零變換”.
分析:(Ⅰ)根據(jù)新定義,可計算經(jīng)變換T1(2),T2(3),T3(4)后得到的數(shù)列;
(Ⅱ)根據(jù)新定義,計算經(jīng)變換T1(4);T2(2);T3(1),或T1(2);T2(2);T3(2);T4(1),可得結(jié)論;
(Ⅲ)記經(jīng)過Tk(ck)變換后,數(shù)列為
a
(k)
1
,
a
(k)
2
,…,
a
(k)
n
.取c1=
1
2
(a1+a2)
,c2=
1
2
(
a
(1)
2
+
a
(1)
3
)
,繼續(xù)做類似的變換,取ck=
1
2
(
a
(k-1)
k
+
a
(k-1)
k+1
)
,(k≤n-1),經(jīng)Tk(ck)后,得到數(shù)列的前k+1項相等,再取cn=
a
(n-1)
n
,經(jīng)Tn(cn)后,即可得到結(jié)論.
解答:(Ⅰ)解:T1(2):1,0,2,6;T2(3):2,3,1,3;T3(4):2,1,3,1.…(3分)
(Ⅱ)解:方法1:T1(4):3,1,1,3;T2(2):1,1,1,1;T3(1):0,0,0,0.
方法2:T1(2):1,1,3,5;T2(2):1,1,1,3;T3(2):1,1,1,1;T4(1):0,0,0,0.
…(6分)
(Ⅲ)證明:記經(jīng)過Tk(ck)變換后,數(shù)列為
a
(k)
1
,
a
(k)
2
,…,
a
(k)
n

c1=
1
2
(a1+a2)
,則
a
(1)
1
=
a
(1)
2
=
1
2
|a1-a2|
,即經(jīng)T1(c1)后,前兩項相等;
c2=
1
2
(
a
(1)
2
+
a
(1)
3
)
,則
a
(2)
1
=
a
(2)
2
=
a
(2)
3
=
1
2
|
a
(1)
2
-
a
(1)
3
|
,即經(jīng)T2(c2)后,前3項相等;
繼續(xù)做類似的變換,取ck=
1
2
(
a
(k-1)
k
+
a
(k-1)
k+1
)
,(k≤n-1),經(jīng)Tk(ck)后,得到數(shù)列的前k+1項相等.特別地,當(dāng)k=n-1時,各項都相等,最后,取cn=
a
(n-1)
n
,經(jīng)Tn(cn)后,數(shù)列各項均為0.所以必存在n次“歸零變換”.  …(13分)
點評:本題考查新定義,考查學(xué)生分析解決問題的能力,考查學(xué)生的探究能力,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
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給定一個n項的實數(shù)列a1,a2,…,an(n∈N*),任意選取一個實數(shù)c,變換T(c)將數(shù)列a1,a2,…,an變換為數(shù)列|a1-c|,|a2-c|,…,|an-c|,再將得到的數(shù)列繼續(xù)實施這樣的變換,這樣的變換可以連續(xù)進行多次,并且每次所選擇的實數(shù)c可以不相同,第k(k∈N*)次變換記為Tk(ck),其中ck為第k次變換時選擇的實數(shù).如果通過k次變換后,數(shù)列中的各項均為0,則稱T1(c1),T2(c2),…,Tk(ck)為“k次歸零變換”.
(Ⅰ)對數(shù)列:1,3,5,7,給出一個“k次歸零變換”,其中k≤4;
(Ⅱ)證明:對任意n項數(shù)列,都存在“n次歸零變換”;
(Ⅲ)對于數(shù)列1,22,33,…,nn,是否存在“n-1次歸零變換”?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年北京市朝陽區(qū)高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

給定一個n項的實數(shù)列,任意選取一個實數(shù)c,變換T(c)將數(shù)列a1,a2,…,an變換為數(shù)列|a1-c|,|a2-c|,…,|an-c|,再將得到的數(shù)列繼續(xù)實施這樣的變換,這樣的變換可以連續(xù)進行多次,并且每次所選擇的實數(shù)c可以不相同,第k(k∈N*)次變換記為Tk(ck),其中ck為第k次變換時選擇的實數(shù).如果通過k次變換后,數(shù)列中的各項均為0,則稱T1(c1),T2(c2),…,Tk(ck)為“k次歸零變換”.
(Ⅰ)對數(shù)列:1,3,5,7,給出一個“k次歸零變換”,其中k≤4;
(Ⅱ)證明:對任意n項數(shù)列,都存在“n次歸零變換”;
(Ⅲ)對于數(shù)列1,22,33,…,nn,是否存在“n-1次歸零變換”?請說明理由.

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(Ⅰ)對數(shù)列:1,3,5,7,給出一個“k次歸零變換”,其中k≤4;
(Ⅱ)證明:對任意n項數(shù)列,都存在“n次歸零變換”;
(Ⅲ)對于數(shù)列1,22,33,…,nn,是否存在“n-1次歸零變換”?請說明理由.

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(Ⅰ)對數(shù)列:1,2,4,8,分別寫出經(jīng)變換T1(2),T2(3),T3(4)后得到的數(shù)列;
(Ⅱ)對數(shù)列:1,3,5,7,給出一個“k次歸零變換”,其中k≤4;
(Ⅲ)證明:對任意n項數(shù)列,都存在“n次歸零變換”.

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