已知數(shù)列{a
n}的前n項和
Sn=(n∈N
*,k是與n無關的正整數(shù)).
(1)求數(shù)列{a
n}的通項公式,并證明數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列;
(2)設數(shù)列{a
n}滿足不等式:|a
1-1|+|a
2-1|+…|a
2k-1-1|+|a
2k-1|≤6,求所有這樣的k的值.
(1)∵S
n=
(k是與n無關的正整數(shù)),
∴a
1=
,
當n≥2時,a
n=S
n-S
n-1=
[(n
2+n)-((n-1)
2+(n-1))]=
,
當n=1時,a
1=
也適合上式,
∴a
n=
.
∴a
n+1-a
n=
[2(n+1)-2n]=
為定值,
∴數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列;
(2)∵a
n=
,
∴a
k=
=1+
,
∴a
k-1=
,
又數(shù)列{a
n}的公差d=
>0,故數(shù)列{a
n}為遞增數(shù)列,
∴a
k+1-1>
,
a
k+2-1>
,…,
a
k+k-1>
,
∴|a
k-1|+|a
k+1-1|+…+|a
k+k-1|=a
k-
+a
k+1-+
…+a
k+k-
>k+1,
∴
+
•
>k+1+
,
要使|a
1-1|+|a
2-1|+…|a
2k-1-1|+|a
2k-1|≤6,
需k+1<5(k∈N
*),即1≤k≤4(k∈N
*),
①當k=1時,a
1=
=2,d=
=2,
∴a
n=2+(n-1)×2=2n,
∴|a
1-1|+|a
2-1|+…|a
2k-1-1|+|a
2k-1|=|a
1-1|+|a
2-1|=|2-1|+|4-1|=4≤6,即k=1時符合題意;
②當k=2時,a
1=
=
,d=
=
,
同理可求a
n=
,
∴|a
1-1|+|a
2-1|+…|a
2k-1-1|+|a
2k-1|=|a
1-1|+|a
2-1|+…+|a
4-1|=(1-
)+(
-1)+(2-1)+(
-1)=
<6,故k=2時符合題意;
③當k=3時,同理可求a
n=
n,
|a
1-1|+|a
2-1|+…+|a
6-1|=
+(1-
)+(
-1)+(
-1)+(2-1)+(
-1)=4<6,故k=3時符合題意;
④當k=4時,同理可求a
n=
n,
|a
1-1|+|a
2-1|+…+|a
8-1|=
+
+
+
+(
-1)+(
-1)+(
-1)+(
-1)=
<6.故k=4時符合題意;
綜上所述,存在k=1,2,3,4使|a
1-1|+|a
2-1|+…|a
2k-1-1|+|a
2k-1|≤6成立.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
設數(shù)
滿足:
.
(1)求證:數(shù)列
是等比數(shù)列;
(2)若
,且對任意的正整數(shù)
,都有
,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a3=4,S2=3.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=(2n-1)an(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
(理)在數(shù)列{a
n}中,a
1=6,且對任意大于1的正整數(shù)n,點(
,
)在直線x-y=
上,則數(shù)列{
}的前n項和S
n=______.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
項數(shù)為n的數(shù)列a
1,a
2,a
3,…,a
n的前k項和為S
k(k=1,2,3,…,n),定義
為該項數(shù)列的“凱森和”,如果項數(shù)為99項的數(shù)列a
1,a
2,a
3,…,a
99的“凱森和”為1000,那么項數(shù)為100的數(shù)列100,a
1,a
2,a
3,…,a
99的“凱森和”為( 。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(文)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,Sn=2an-1.
(1)求數(shù)列{an}的通項an;
(2)求數(shù)列{nan}的前n項和Tn.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
在數(shù)列{a
n}中,前n項和為S
n,且
Sn=.
(Ⅰ)求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(Ⅱ)設
bn=,數(shù)列{b
n}前n項和為T
n,求T
n的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知函數(shù)
f(n)=n2sin,且a
n=f(n)+f(n+1),則a
1+a
2+a
3+…+a
2014=______.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知函數(shù)
f(
x)=
,對于數(shù)列{
an}有
an=
f(
an-1)(
n∈N
*,且
n≥2),如果
a1=1,那么
a2=________.
an=________.
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