Question

選修4-1：幾何證明與選講
如圖，已知PA與圓O相切于點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的割線PBC交圓O于點(diǎn)B．C，的平分線分別交AB．AC于點(diǎn)D．E．
（1）證明：.
（2）若AC=AP,求的值.

Answer 1

(1)∵ PA是切線，AB是弦，
∴ ∠BAP=∠C，  ………………………………2分
又 ∵ ∠APD="∠CPE,"
∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,
∵ ∠ADE="∠BAP+∠APD,"
∠AED="∠C+∠CPE,   " …………………………4分
∴ ∠ADE=∠AED．   …………………………5分
(2)由(1)知∠BAP="∠C," 又 ∵ ∠APC=∠BPA,
∴ △APC∽△BPA, ∴,  ……………7分
∵ AC="AP," ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,
由三角形內(nèi)角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,
∵ BC是圓O的直徑，∴ ∠BAC="90°," ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,
∴ ∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°．          ………………………………9分
在Rt△ABC中，=, ∴ =．

略