Question

（2013•懷化二模）在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，如果函數(shù)f（x）的圖象恰好通過(guò)k（k∈N^*）個(gè)格點(diǎn)，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為k階格點(diǎn)函數(shù)．給出下列4個(gè)函數(shù)：①f(x)=-cos(

π

2

-x)；②f(x)=(

1

3

)x；③f（x）=-log₂x；④f（x）=2π（x-3）²+5．其中是一階格點(diǎn)函數(shù)的是（　　）

A．①③

B．②③

C．③④

D．①④

Answer 1

分析：由定義對(duì)四個(gè)函數(shù)逐一驗(yàn)證，找出只有一個(gè)整數(shù)點(diǎn)的函數(shù)即可，①中的函數(shù)圖象與橫軸交點(diǎn)都是整點(diǎn)；②中的函數(shù)只有當(dāng)x=1時(shí)才是整點(diǎn)；③中的函數(shù)可以驗(yàn)證橫坐標(biāo)為，1，2，④中的函數(shù)只有當(dāng)x=0時(shí)才能取到整點(diǎn)；⑤中的函數(shù)驗(yàn)證x=0，x=2即可排除；

解答：解：①顯然點(diǎn)（0，0）在函數(shù)f(x)=-cos(

π

2

-x)=-sinx的圖象上，而且函數(shù)的格點(diǎn)只有最高點(diǎn)和最低點(diǎn)
以及圖象與x軸的交點(diǎn)處，但這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不是整點(diǎn)，故函數(shù)f(x)=-cos(

π

2

-x)是一階格點(diǎn)函數(shù)；
②函數(shù)f(x)=(

1

3

)x中，當(dāng)x取負(fù)整數(shù)或者零時(shí)，都是整點(diǎn)，故函數(shù)f(x)=(

1

3

)x的格點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，
故不是一階格點(diǎn)函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=log₂x，顯然點(diǎn)（1，0）為其格點(diǎn)，當(dāng)x=2n（n=0，1，2，），都是整點(diǎn)，
故函數(shù)f（x）=log₂x不是一階格點(diǎn)函數(shù)．
④函數(shù)f（x）=2π（x-3）²+5圖象上點(diǎn)（3，5）為整點(diǎn)，當(dāng)x取x≠3的整數(shù)時(shí)，函數(shù)值都不是整數(shù)，
故函數(shù)f（x）=2π（x-3）²+5是一階格點(diǎn)函數(shù)；
故答案為D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，求解此類(lèi)題的關(guān)鍵是對(duì)新定義作出正確的理解，以及對(duì)所給的幾個(gè)函數(shù)的性質(zhì)與圖象有著比較清晰的記憶．