Question

【題目】為了提高產(chǎn)品的年產(chǎn)量，某企業(yè)擬在2013年進(jìn)行技術(shù)改革，經(jīng)調(diào)查測算，產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量x萬件與投入技術(shù)改革費用m萬元（m≥0）滿足x=3﹣ （k為常數(shù)）．如果不搞技術(shù)改革，則該產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量只能是1萬件．已知2013年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元．由于市場行情較好，廠家生產(chǎn)均能銷售出去，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本的1.5倍（生產(chǎn)成本包括固定投入和再投入兩部分資金）
（1）試確定k的值，并將2013年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為技術(shù)改革費用m萬元的函數(shù)（利潤=銷售金額﹣生產(chǎn)成本﹣技術(shù)改革費用）；
（2）該企業(yè)2013年的技術(shù)改革費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？并求出最大利潤．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，當(dāng)m=0時，x=1（萬件）∴1=3﹣k，∴k=2，∴x=3﹣

∴每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5× （元），

∴2013年的利潤y=x（1.5× ）﹣（8+16x）﹣m=28﹣m﹣ （m≥0）

（2）解：∵m≥0，∴y=28﹣m﹣28﹣m﹣ =29﹣[（m+1）+ ]≤ =21

當(dāng)且僅當(dāng)m+1= ，即m=3時，ymax=21．

∴該企業(yè)2013年的技術(shù)改革費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元

【解析】（1）首先根據(jù)題意令m=0代入x=3﹣ 求出常量k，這樣就得出了x與m的關(guān)系式，然后根據(jù)2013年固定收入加再投入資金求出總成本為8+16x，再除以2013的件數(shù)就可以得出2013年每件的成本，而每件的銷售價格是成本的1.5倍，從而得出了每件產(chǎn)品的銷售價格，然后用每件的銷售單價×銷售數(shù)量得到總銷售額．最后利用利潤=銷售金額﹣生產(chǎn)成本﹣技術(shù)改革費用得出利潤y的關(guān)系式．（2）根據(jù)基本不等式，求出y的最大值時m的取值即可．
【考點精析】利用基本不等式對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號）；變形公式：．