【題目】已知函數(shù)f(x)=(2x2﹣3x)ex
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若方程(2x﹣3)ex= 有且僅有一個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:由題可得:f′(x)=(2x2+x﹣3)ex
令f′(x)<0,得:2x2+x﹣3<0,解得:
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 .
(2)解:∵方程 有且僅有一個(gè)實(shí)根
∴方程(2x2﹣3x)ex=a有且僅有一個(gè)非零實(shí)根,即方程f(x)=a,(x≠0)有且僅有一個(gè)實(shí)根.
因此,函數(shù)y=f(x),(x≠0)的圖象與直線y=a有且僅有一個(gè)交點(diǎn).
結(jié)合(1)可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ,單調(diào)遞增區(qū)間是
∴函數(shù)f(x)的極大值是 ,極小值是f(1)=﹣e.
又∵ 且x<0時(shí),f(x)>0.∴當(dāng) 或a=0或a=﹣e時(shí),
函數(shù)y=f(x),(x≠0)的圖象與直線y=a有且僅有一個(gè)交點(diǎn).
∴若方程 有且僅有一個(gè)實(shí)根,
實(shí)數(shù)a的取值范圍是
【解析】(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)小于0,求解單調(diào)遞減區(qū)間;(2)分離變量,通過(guò)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù),利用單調(diào)性求解函數(shù)的極值,推出結(jié)果即可.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在等差數(shù)列中,,前項(xiàng)和滿足條件,
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式和;
(2)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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【題目】設(shè) , 是兩個(gè)非零向量,則下列哪個(gè)描述是正確的( )
A.若|+|=||﹣||,則⊥
B.若⊥ , 則|+|=||﹣||
C.若|+|=||﹣||,則存在實(shí)數(shù)λ使得=
D.若存在實(shí)數(shù)λ使得= , 則|+|=||﹣||
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)寫出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線C′,設(shè)曲線C′上任一點(diǎn)為M(x,y),求x+2y的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)數(shù)f′(x),x∈R,有f(﹣x)+f(x)=x2 , 在(0,+∞)上f′(x)<x,若f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m.則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )
A.[﹣2,2]
B.[2,+∞)
C.[0,+∞)
D.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,漸近線方程為y=±x,且雙曲線過(guò)點(diǎn)P(4,-).
(1)求雙曲線的方程;
(2)若點(diǎn)M(x1,y1)在雙曲線上,求的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2009年廣東卷文)某單位200名職工的年齡分布情況如圖2,現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本,用系統(tǒng)抽樣法,將全體職工隨機(jī)按1-200編號(hào),并按編號(hào)順序平均分為40組(1-5號(hào),6-10號(hào)…,196-200號(hào)).若第5組抽出的號(hào)碼為22,則第8組抽出的號(hào)碼應(yīng)是 。若用分層抽樣方法,則40歲以下年齡段應(yīng)抽取 人.
圖 2
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