【題目】如圖，在直三棱柱中， 分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（包括兩個(gè)端點(diǎn)）運(yùn)動．

（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，

①求證：；②求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍.

【答案】（1）①見解析；②；（2）.

【解析】

（1）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由向量法證明線線垂直和計(jì)算二面角。（2）設(shè)（），設(shè)直線與平面所成的角為由向量坐標(biāo)法求得

設(shè)設(shè)由導(dǎo)數(shù)法求得范圍。

以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則 ，.

因?yàn)?/span>分別是棱的中點(diǎn)，所以

（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，則

①因?yàn)?/span> 所以即

②因?yàn)?/span>設(shè)平面的一個(gè)法向量為

由 可得，取，則所以

又因?yàn)?/span>是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面與平面所成的二面角的平面角為，

則 .因?yàn)?/span>為銳角，所以

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為

（2）因?yàn)?/span>在線段上，所以設(shè)（），解得，

所以.

因?yàn)?/span>設(shè)平面的一個(gè)法向量為

由可得，取則所以

設(shè)直線與平面所成的角為

則

因?yàn)?/span>所以設(shè)則

所以，設(shè)

則，設(shè)可求得的取值范圍為，

進(jìn)一步可求得的取值范圍為

所以直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍為.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）= ，其中a∈R，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0；
（3）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

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【題目】已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】直線l：y=kx+1與圓O：x2+y2=1相交于A，B 兩點(diǎn)，則“k=1”是“△OAB的面積為 ”的（ ）
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分又不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動．

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表；

(2)根據(jù)所給的獨(dú)立檢驗(yàn)臨界值表，你最多能有多少把握認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系？附：獨(dú)立檢驗(yàn)臨界值表

P(K2≥k0)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】觀察下列各等式(i為虛數(shù)單位)：

(cos 1＋isin 1)(cos 2＋isin 2)＝cos 3＋isin 3；

(cos 3＋isin 3)(cos 5＋isin 5)＝cos 8＋isin 8；

(cos 4＋isin 4)(cos 7＋isin 7)＝cos 11＋isin 11；

(cos 6＋isin 6)(cos 6＋isin 6)＝cos 12＋isin 12．

記f(x)＝cos x＋isin x．

猜想出一個(gè)用f (x)表示的反映一般規(guī)律的等式，并證明其正確性；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)g（x）=loga（x+k）的圖象是（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，它的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=2xe﹣x（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則f（2+3ln2）的值為（ ）
A.48ln2
B.40ln2
C.32ln2
D.24ln2

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