Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．
（1）設(shè)點E為PD的中點，求證：CE∥平面PAB；
（2）線段PD上是否存在一點N，使得直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為 ？若存在，試確定點N的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AD中點M，連EM，CM，則EM∥PA．

∵EM平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB．

在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°．

而∠BAC=60°，∴MC∥AB．

∵MC平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB．

∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．

（2）解：過A作AF⊥AD，交BC于F，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（ ，﹣ ，0），C（ ，1，0），D（0，4，0），P（0，0，2），

設(shè)平面PAC的法向量為 =（x，y，z），則 ，取 =（ ，﹣3，0），

設(shè) =λ （0≤λ≤1），則 =（0，4λ，﹣2λ）， =（﹣λ﹣1，2﹣2λ），

∴|cos＜ ， ＞|= = ，∴ ，

∴N為PD的中點，使得直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為 ．

【解析】（1）取AD中點M，利用三角形的中位線證明EM∥平面PAB，利用同位角相等證明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，證得EC∥平面PAB；（2）建立坐標(biāo)系，求出平面PAC的法向量，利用直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為 ，可得結(jié)論．
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．