已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于點，.
（Ⅰ）若（點在第一象限），求直線的方程；
（Ⅱ）求證：為定值（點為坐標原點）.

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析

解析試題分析：（Ⅰ）由拋物線的方程知焦點為，準線為。設(shè)，因為點在第一象限所以且。由拋物線的定義可知等于點到拋物線準線的距離，即，可得，從而可求得點的坐標。由點和點可求直線的方程。（Ⅱ）可分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，為了省去討論也可直接設(shè)直線方程為，與拋物線聯(lián)立方程，消去整理可得關(guān)于的一元二次方程，因為有兩個交點即方程有兩根，所以判別式應(yīng)大于0。然后用韋達定理得根與系數(shù)的關(guān)系。用向量數(shù)量積公式求即可得證。
試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)，由題意，且.
點在拋物線上，且，
點到準線的距離為.
，.                                     2分
又，，
.
.
，                                              4分
直線的方程為，即.        5分
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線的方程為：.
由得，即.          7分
顯然恒成立.
設(shè)，，則                  9分

.
即為定值.                                11分
考點：1拋物線的定義；2直線方程；3直線與拋物線的位置關(guān)系；4向量的數(shù)量積.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，M點的坐標為(12,8)，N點在拋物線C上，且滿足＝，O為坐標原點．

(1)求拋物線C的方程；
(2)以M點為起點的任意兩條射線l1，l2的斜率乘積為1，并且l1與拋物線C交于A，B兩點，l2與拋物線C交于D，E兩點，線段AB，DE的中點分別為G，H兩點．求證：直線GH過定點，并求出定點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動直線與橢圓交于、兩不同點，且△的面積=，其中為坐標原點.
（1）證明和均為定值；
（2）設(shè)線段的中點為，求的最大值；
（3）橢圓上是否存在點，使得？若存在，判斷△的形狀；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點分別是橢圓的左、右焦點, 點在橢圓上上.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程;
（Ⅱ）設(shè)直線若、均與橢圓相切,試探究在軸上是否存在定點,點到的距離之積恒為1?若存在,請求出點坐標;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為、，橢圓上的點滿足，且的面積．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線，使與橢圓交于不同的兩點、，且線段恰被直線平分？若存在，求出的斜率取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的右頂點為A（2，0），點P（2e，）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．

（1）求橢圓的方程；
（2）若點B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿足，且，求實數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線C:,定點M(0,5),直線與軸交于點F,O為原點,若以O(shè)M為直徑的圓恰好過與拋物線C的交點.
（1）求拋物線C的方程;
（2）過點M作直線交拋物線C于A,B兩點,連AF,BF延長交拋物線分別于,求證: 拋物線C分別過兩點的切線的交點Q在一條定直線上運動.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為、，為原點.
（1）如圖1，點為橢圓上的一點，是的中點，且，求點到軸的距離；

（2）如圖2，直線與橢圓相交于、兩點，若在橢圓上存在點，使四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（13分） 已知橢圓C的中心在原點，離心率等于，它的一個短軸端點點恰好是拋物線 的焦點。

（1）求橢圓C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是橢圓上的兩點，A,B是橢圓上位于直線ＰＱ兩側(cè)的動點，
①若直線ＡＢ的斜率為，求四邊形ＡＰＢＱ面積的最大值；
②當Ａ、B運動時，滿足＝，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由。

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